Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

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Enunciado

  1. Calcule os limites abaixo:

n. lim x → 1 ⁡ e x - 1 - 2 x - 1 x 2 - 1

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um limite para resolver,

lim x → 1 ⁡ e x - 1 - 2 x - 1 x 2 - 1

Se fizermos a substituição, vamos cair em uma indeterminação do tipo 0 0 . Quer dizer que não vai dar pra resolver simples assim.

Se a gente olhar bem pra cara dessa função, o que ela nos lembra? Potência com x no expoente no numerador e x no denominador...

Isso é um pouco parecido com o Limite Fundamental que diz o seguinte:

lim x → 0 ⁡ a x - 1 x = ln ⁡ a

Okkkkkkkkkk, não é tãããããão parecido assim! Mas você vai ver que é só dar uma mexida na função que conseguimos aplicar!

Então agora você já sabe que quando aparecer uma função com essa cara, pode ser que você precise aplicar o Limite Fundamental.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo essa função! Note que o denominador está diferente do expoente. Então vamos tentar melhorar isso, aplicando produto notável. Para quem não lembra temos que:

x 2 - 1 = x - 1 x + 1

Sendo assim, o nosso limite fica assim,

lim x → 1 ⁡ e x - 1 - 2 x - 1 x 2 - 1 = lim x → 1 ⁡ e x - 1 - 2 x - 1 x + 1 x - 1

Só que a gente tra modificando essa função com o objetivo de que ela fique mais parecida com o Limite Fundamental, não é isso? E no Limite Fundamental, o denominador é igual ao expoente que aparece no denominador. Como nosso expoente é x - 1 , a gente quer que no denominador tenha só x - 1 . E aquele x + 1 que tá ali atrapalhando, a gente vai separar.

lim x → 1 ⁡ e x - 1 - 2 x - 1 x 2 - 1 = lim x → 1 ⁡ 1 x + 1 . lim x → 1 ⁡ e x - 1 - 2 x - 1 x - 1

E agora vamos resolver esse limite em separado!

Passo 3

Começando por que é mais fácil

lim x → 1 ⁡ 1 x + 1

Podemos substituir 1 na função ficamos com,

lim x → 1 ⁡ 1 x + 1 = 1 2

Vamos para o próximo!

Passo 4

Agora temos,

lim x → 1 ⁡ e x - 1 - 2 x - 1 x - 1

E é aqui que vamos aplicar o nosso limite fundamental! Mas antes de fazer isso, temos fazer uma mudança de variável para que no limite tenda a zero. Porque? Porque se você olhar o Limite fundamental lá no passo 1, você vai ver que x tende a 0.

Vamos chamar

u = x - 1

Com isso, temo que se x → 1 ,

u → 0

Reescrevendo o limite ficamos com

lim x → 1 ⁡ e x - 1 - 2 x - 1 x - 1 = lim u → 0 ⁡ e u - 2 u u

Melhorou, mas podemos mexer mais!

Passo 5

O que mais a gente pode fazer pra função ficar parecida com o Limite Fundamental? Olha ele aqui:

lim x → 0 ⁡ a x - 1 x = ln ⁡ a

No numerador, o termo que ta sendo subtraído é 1. Pra ficar com um -1 na nossa função, vamos colocar 2 u em evidência. E fica assim:

lim u → 0 ⁡ e u - 2 u u = lim u → 0 ⁡ 2 u e 2 u - 1 u

Opa! Note que podemos escrever assim,

lim u → 0 ⁡ 2 u e 2 u - 1 u = lim x → 0 ⁡ 2 u . lim x → 0 ⁡ e 2 u - 1 u

Sendo que,

lim x → 0 ⁡ 2 u = 1

Vamos para o próximo!

Passo 6

Agora vamos olha de novo nosso Limite Fundamental

lim x → 0 ⁡ a x - 1 x = ln ⁡ a

E comparar com a expressão que a gente ta calculando

lim x → 0 ⁡ e 2 u - 1 u

Se você comparar, quem ocupa o lugar do a é o e 2 . Logo a = e 2 e

lim x → 0 ⁡ e 2 u - 1 u = ln ⁡ e 2 = ln ⁡ e - ln ⁡ 2 = 1 - ln ⁡ 2

Ufa! Calma, que já estamos quase acabando!

Passo 7

Juntando tudo, temos que,

lim x → 1 ⁡ e x - 1 - 2 x - 1 x - 1 = lim u → 0 ⁡ e u - 2 u u = lim x → 0 ⁡ 2 u . lim x → 0 ⁡ e 2 u - 1 u

Substituindo,

lim x → 1 ⁡ e x - 1 - 2 x - 1 x - 1 = 1 . 1 - ln ⁡ 2 = 1 - ln ⁡ 2

Além disso, temos que

lim x → 1 ⁡ e x - 1 - 2 x - 1 x 2 - 1 = lim x → 1 ⁡ 1 x + 1 . lim x → 1 ⁡ e x - 1 - 2 x - 1 x - 1

E substituindo,

lim x → 1 ⁡ e x - 1 - 2 x - 1 x 2 - 1 = 1 2 1 - ln ⁡ 2 = 1 2 - ln ⁡ 2

Prontinho!

Resposta

1 2 - ln ⁡ 2

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