Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

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Enunciado

  1. Calcule os limites abaixo:

f. lim x → 3 ⁡ 2 x - 8 x - 3

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um limite para resolver,

lim x → 3 ⁡ 2 x - 8 x - 3

Se fizermos a substituição, vamos cair em uma indeterminação,

lim x → 3 ⁡ 2 x - 8 x - 3 = 2 3 - 8 3 - 3 = 0 0

Para isso, vamos aplicar o seguinte Limite Fundamental que diz:

lim x → 0 ⁡ a x - 1 x = ln ⁡ a

Parece que não está muito parecido, mas é só dar uma mexida na função que conseguimos aplicar!

Passo 2

Temos que 8 = 2 3 . Logo,

lim x → 3 ⁡ 2 x - 8 x - 3 = lim x → 3 ⁡ 2 x - 2 3 x - 3

O que podemos fazer agora é colocar 2 3 em evidência. Fica assim,

lim x → 3 ⁡ 2 x - 2 3 x - 3 = lim x → 3 ⁡ 2 3 ( 2 x - 3 - 1 ) x - 3

Repara que já está mais parecido, mas temos que mexer mais um pouco. Pois x → 3 , diferente do nosso limite fundamental, onde x → 0 .

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável:

u = x - 3

Com isso, se

x → 3

Temos que

u → 0

Então ficamos com esse limite,

lim x → 3 ⁡ 2 3 ( 2 x - 3 - 1 ) x - 3 = lim u → 0 ⁡ 2 3 ( 2 u - 1 ) u

Opa! Note que podemos escrever assim,

lim u → 0 ⁡ 2 3 ( 2 u - 1 ) u = 2 3 lim u → 0 ⁡ ( 2 u - 1 ) u

Agora podemos aplicar o nosso limite fundamental!

Passo 4

Já vimos que

lim x → 0 ⁡ a x - 1 x = ln ⁡ a

Onde, a = 2 . Logo,

lim u → 0 ⁡ 2 3 ( 2 u - 1 ) u = 2 3 ln ⁡ 2

Ou seja,

lim x → 3 ⁡ 2 x - 8 x - 3 = 8 ln ⁡ 2

Resposta

8 ln ⁡ 2

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