Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

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Enunciado

Seja f x = x + c x - c ,             c   ∈   R :

Determine o valor de c tal que lim x → ∞ ⁡ f x x = 4 ;

Passo 1

Substituindo, temos indeterminação:

lim x → + ∞ ⁡ x + c x - c x = 1 ∞

Passo 2

Vamos calcular esse limite:

lim x → ∞ ⁡ f x x = lim x → ∞ ⁡ x + c x - c x

Antes de fazer esse cara se parecer com o Limite Fundamental Exponencial, temos que fazer algumas pequenas mudanças dentro dele. Em primeiro lugar, vamos dividir o termo de x em cima e embaixo:

lim x → + ∞ ⁡ x + c x - c x = lim x → + ∞ ⁡ x 1 + c x x 1 - c x x

= lim x → + ∞ ⁡ 1 + c x 1 - c x x

Agora, pelas propriedades dos limites, calculamos o limite do quociente como o quociente dos limites:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + c x 1 - c x x = lim x → + ∞ ⁡ 1 + c x x lim x → + ∞ ⁡ 1 - c x x

Repara que, nesse formato, podemos usar o Limite Fundamental Exponencialnos dois!

Passo 3

Começamos calculando o limite no numerador.

Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:

c x = 1 u

Logo, x é c . u

x → + ∞   ; u → + ∞

Com isso, o termo do enunciado seria:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + c x x = lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u c u = lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u u c

= lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u u c = e c

Passo 4

Agora calculamos o limite do denominador.

Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:

- c x = 1 u → x = - c u

x → + ∞   ; u → - ∞

Com isso, o termo do enunciado seria:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - c x x = lim u → - ∞ ⁡ 1 + 1 u - c u = lim u - ∞ ⁡ 1 + 1 u u - c

= lim u → - ∞ ⁡ 1 + 1 u u - c = e - c

Passo 5

Substituindo os resultados, teremos:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + c x x lim x → + ∞ ⁡ 1 - c x x = e c e - c = e c e c

= e 2 c

Ora, se o resultado for 4 , então

e 2 c = 4 → 2 c = ln ⁡ 4 = 2 ln ⁡ 2

c = ln ⁡ 2

Resposta

  c = ln ⁡ ( 2 )

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