Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

Ver Teoria

Enunciado

4. Essa questão está relacionada com a função exponencial x ↦ e x (definida para todo x ∈ R ) e suas taxas de variação. Sobre ela se sabe que

l i m x → 0   e x - 1 x = 1 ,

(na verdade dentre todas as funções de tipo exponencial x ↦ r x , cada uma com uma base r > 0 diferente, aquela de base e , ou seja x → e x , é escolhida exatamente para que o limite acima seja 1).

Agora considere f ( x ) = e 2 x e vamos às perguntas:

a) Imagine qualquer a ∈ R fixado e h > 0 e considere x 0 = a , x 1 = a + h e o intervalo x 0 , x 1 = [ a , a + h ] . Determine uma expressão para a taxa de variação média de f entre x 0 = a e x 1 = a + h , ou seja

f ( a + h ) - f ( a ) h .

Passo 1

A taxa de variação média da função f ( x ) = e 2 x entre x 0 = a e x 1 = a + h , ou seja, o quociente f ( a + h ) - f ( a ) h , representa a variação média do valor da função por unidade de variação em x dentro do intervalo x 0 , x 1 .

Passo 2

Vamos calcular essa taxa de variação média:

f ( a + h ) - f ( a ) h = e 2 ( a + h ) - e 2 a h

= e 2 a ⋅ e 2 h - e 2 a h

= e 2 a e 2 h - 1 h .

Essa é a expressão para a taxa de variação média da função f ( x ) = e 2 x entre x 0 = a e x 1 = a + h . Ela representa como o valor da função varia em média por unidade de variação em x dentro do intervalo [ a , a + h ] .

Resposta

Essa é a expressão para a taxa de variação média da função f ( x ) = e 2 x entre x 0 = a e x 1 = a + h . Ela representa como o valor da função varia em média por unidade de variação em x dentro do intervalo [ a , a + h ] .

Exercícios de Livros Relacionados

Prove:underset(x - + oo)(lim) cosech x = 0
Prove:underset(x - + oo)(lim) cotgh x = 1
Encontre os limites34.underset(x - + oo)(lim) (1 - e^x)/(1 + e^x)
Encontre os limites35.underset(x - + oo)(lim) (e^x + e^(- x))/(e^x - e^(- x))
Encontre os limites33.underset(x - - oo)(lim) (1 - e^x)/(1 + e^x)