Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

Ver Teoria

Enunciado

  1. Calcule os limites abaixo:

p. lim x → 0 ⁡ e - x - e - 2 x x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um limite para resolver,

lim x → 0 ⁡ e - x - e - 2 x x

Se fizermos a substituição, vamos cair em uma indeterminação,

lim x → 0 ⁡ e - x - e - 2 x x = e 0 - e 0 0 = 0 0

Para isso, vamos aplicar o seguinte Limite Fundamental que diz:

lim x → 0 ⁡ a x - 1 x = ln ⁡ a

Parece que não está muito parecido, mas é só dar uma mexida na função que conseguimos aplicar!

Passo 2

Vamos começar colocando o e - 2 x em evidência. Fica assim,

lim x → 0 ⁡ e - x - e - 2 x x = lim x → 0 ⁡ e - 2 x ( e x - 1 ) x

Opa! Note que podemos escrever assim,

lim x → 0 ⁡ e - 2 x ( e x - 1 ) x = lim x → 0 ⁡ e - 2 x . lim x → 0 ⁡ ( e x - 1 ) x

Vamos resolver cada limite em separado. Mas repara que agora podemos aplicar o nosso limite fundamental!

Passo 3

Começando por,

lim x → 0 ⁡ e - 2 x

Temos que,

lim x → 0 ⁡ e - 2 x = e 0 = 1

Vamos para o próximo!

Passo 4

Já vimos que

lim x → 0 ⁡ a x - 1 x = ln ⁡ a

Onde, a = e . Logo,

lim x → 0 ⁡ ( e x - 1 ) x = ln ⁡ e = 1

Passo 5

Juntando tudo, temos que,

lim x → 0 ⁡ e - x - e - 2 x x = lim x → 0 ⁡ e - 2 x . lim x → 0 ⁡ ( e x - 1 ) x

Substituindo,

lim x → 0 ⁡ e - x - e - 2 x x = 1 . 1 = 1

Prontinho!

Resposta

1

Exercícios de Livros Relacionados

Prove:underset(x - + oo)(lim) cosech x = 0
Prove:underset(x - + oo)(lim) cotgh x = 1
Encontre os limites34.underset(x - + oo)(lim) (1 - e^x)/(1 + e^x)
Encontre os limites35.underset(x - + oo)(lim) (e^x + e^(- x))/(e^x - e^(- x))
Encontre os limites33.underset(x - - oo)(lim) (1 - e^x)/(1 + e^x)