Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

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Enunciado

  1. Calcule os limites abaixo:

m. lim x → 0 ⁡ 2 x - 3 x x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um limite para resolver,

lim x → 0 ⁡ 2 x - 3 x x

Se fizermos a substituição, vamos cair em uma indeterminação,

lim x → 0 ⁡ 2 x - 3 x x = 2 0 - 3 0 0 = 0 0

Para isso, vamos aplicar o seguinte Limite Fundamental que diz:

lim x → 0 ⁡ a x - 1 x = ln ⁡ a

Parece que não está muito parecido, mas é só dar uma mexida na função que conseguimos aplicar!

Passo 2

Vamos começar colocando o termo que ta subtraindo em evidência. No caso, é o 3 x e fica assim:

lim x → 0 ⁡ 2 x - 3 x x = lim x → 0 ⁡ 3 x 2 3 x - 1 x

Opa! Note que podemos escrever assim,

lim x → 0 ⁡ 3 x 2 3 x - 1 x = lim x → 0 ⁡ 3 x . lim x → 0 ⁡ 2 3 x - 1 x

Vamos resolver cada limite em separado. Mas repara que agora podemos aplicar o nosso limite fundamental!

Passo 3

Começando por,

lim x → 0 ⁡ 3 x

Temos que,

lim x → 0 ⁡ 3 x = 1

Vamos para o próximo!

Passo 4

Já vimos que

lim x → 0 ⁡ a x - 1 x = ln ⁡ a

Onde, a = 2 3 . Logo,

lim x → 0 ⁡ 2 3 x - 1 x = ln ⁡ 2 3

Passo 5

Juntando tudo, temos que,

lim x → 0 ⁡ 2 x - 3 x x = lim x → 0 ⁡ 3 x . lim x → 0 ⁡ 2 3 x - 1 x

Substituindo,

lim x → 0 ⁡ 2 x - 3 x x = 1 . ln ⁡ 2 3 = ln ⁡ 2 3

Prontinho!

Resposta

ln ⁡ 2 3

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