Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

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Enunciado

Calcule os limites abaixo

c )   lim x → - 1 ⁡ x 3 + x 2 - x - 1 x 3 - x 2 - 5 x - 3

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema pediu para calcularmos esse limite aqui

lim x → - 1 ⁡ x 3 + x 2 - x - 1 x 3 - x 2 - 5 x - 3

Nosso instinto é logo substituir x por - 1 , mas quando fazemos isso encontramos: 0 / 0 , uma indeterminação!

x em uma função e ela retorna zero temos uma certeza: esse valor de x é uma raiz!

Então a ideia é o seguinte: dividir esses polinômios por x + 1 (já que x = - 1 é raiz dos dois), do polinômio resultante encontrar as outras raízes e fatorar por completo os dois, numerador e denominador

Com isso vamos conseguir simplificar ao máximo e avaliar novamente o limite!

Mas relaxa!

Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

Passo 2

Nosso limite é

lim x → - 1 ⁡ x 3 + x 2 - x - 1 x 3 - x 2 - 5 x - 3

Vamos começar dividindo o numerador

x 3 + x 2 - x - 1

( x + 1 ) :

E terminando a divisão temos

Assim podemos escrever nosso polinômio como

x 3 + x 2 - x - 1 = ( x + 1 ) ( x 2 - 1 )

E ainda podemos fatorar o resultado x 2 - 1 = ( x - 1 ) ( x + 1 ) , aí nosso numerador fica completamente fatorado:

x 3 + x 2 - x - 1 = ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )

Beleza até aqui?

Passo 3

Passo 4

Passo 5

Passo 6

Passo 7

Agora vamos fatorar o denominador! Nosso limite

lim x → - 1 ⁡ x 3 + x 2 - x - 1 x 3 - x 2 - 5 x - 3

( x + 1 ) também:

E seguindo na divisão temos

Agora por fim o último passo dessa divisão:

Tudo bem até aqui? Podemos então reescrever nosso denominador

x 3 - x 2 - 5 x - 3 = ( x + 1 ) ( x 2 - 2 x - 3 )

E para descobrir as outras duas raízes, vamos usar bascara:

x = - ( - 2 ) - ± ( - 2 ) 2 - 4 ( 1 ) ( - 3 ) 2 ( 1 ) = 2 ± 4 2 = 3 ,   - 1

Agora sim, conseguimos fatorar por completo nosso denominador

x 3 - x 2 - 5 x - 3 = ( x + 1 ) ( x - 3 ) ( x + 1 )

Ok?

vamos guardar esse resultado!

Passo 8

Agora vamos retornar ao nosso limite e substituir pelas formas fatoradas tanto do numerador quanto do denominador:

lim x → - 1 ⁡ x 3 + x 2 - x - 1 x 3 - x 2 - 5 x - 3

Do passo 2

x 3 + x 2 - x - 1 = ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )

Do passo 3:

x 3 - x 2 - 5 x - 3 = ( x + 1 ) ( x - 3 ) ( x + 1 )

Substituindo no nosso limite:

lim x → - 1 ⁡ x 3 + x 2 - x - 1 x 3 - x 2 - 5 x - 3 = lim x → - 1 ⁡ ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x - 3 ) ( x + 1 ) = lim x → - 1 ⁡ ( x - 1 ) ( x - 3 )

Viu só! Nosso limite ficou bem mais simples! Agora é só avaliar novamente o limite quando x → - 1 :

lim x → - 1 ⁡ ( x - 1 ) ( x - 3 ) = - 1 - 1 - 1 - 3 = - 2 - 4 = 1 2

Beleza?

E taí nosso resultado!

lim x → - 1 ⁡ x 3 + x 2 - x - 1 x 3 - x 2 - 5 x - 3 = 1 2

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

1 2

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