Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

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Enunciado

Calcule os limites abaixo

j )   lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x + 1 x + 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

A ideia é calcular esse limite aqui

lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x + 1 x + 1

Vamos começar aplicando uma propriedade das exponenciais e logo em seguida dos limites: vamos separar o termo 2 x + 3 2 x + 1 x + 1 em um produto: 2 x + 3 2 x + 1 x . 2 x + 3 2 x + 1 + 1 e aplicar a regra dos limites

O limite do produto é o produto dos limites

Beleza?

lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x + 1 x + 1 = lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x + 1 x ⋅ lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x + 1 + 1

ficamos com dois limites para resolver ao invés de um, mas dois mais simples! Então saímos no lucro! E agora?

Mas calma! Antes vamos relembrar de todos os limites fundamentais que estudamos, assim podemos identificar qual deles o nosso limite mais se aproxima

Estão aqui os limites que você precisa ter na manga para resolver qualquer questão assim:

E aí? E depois? Depois é #partiu #manipulação para deixar o nosso limite com exponencial com a cara de um limite fundamental! Assim vamos conseguir usar os resultados e calcular o nosso limite de boas! E o outro? Nesse vamos usar o limite de divisão de polinômios: é só dividir todos os termos pelo termo de maior expoente!

Então a ideia é usar essas informações para calcular o nosso limite!

Mas relaxa!

Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

Passo 2

Primeiro vamos olhar para nosso limite

lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x + 1 x ⋅ lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x + 1 + 1

Vamos começar calculando o limite mais à direita:

lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x + 1 x

E lembrar do primeiro limite fundamental daquele quadro em azul do passo anterior

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Temos algo parecido, não é? Precisamos manipular um pouquinho para encontrar um resultado bem parecido com nosso limite fundamental...

Vamos começar por um truque sujo: rescrever o 3 como 1 + 2 :

lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x + 1 x = lim x → ∞ ⁡ 2 x + 1 + 2 2 x + 1 x = lim x → ∞ ⁡ 2 x + 1 2 x + 1 + 2 2 x + 1 x = lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 2 x + 1 x

Oh! Já está mais próximo do nosso limite fundamental! E agora? Agora vamos fazer uma pequena mudança de variáveis, para ficar ainda mais parecido com o limite fundamental

2 2 x + 1 = 1 u → 2 x = 2 u - 1 → x = u - 1 2

E substituir no limite. Quando x → ∞ ,   x = u - 1 2 , temos que u → ∞ também:

lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u u - 1 2

Beleza? Estamos quase lá!

Agora vamos fazer a mesma coisa que fizemos lá no começo: separar em dois limites!

lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u u - 1 2 = lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u u ⏝ = e ⋅ lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u - 1 2 ⏝ = 1

E aí temos nosso primeiro resultado!

lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x + 1 x = e

Beleza? Vamos para o cálculo do outro limite?

Passo 3

Tínhamos esses dois limites

lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x + 1 x ⋅ lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x + 1 + 1

No passo anterior descobrimos que lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x + 1 x = e , agora precisamos calcular

lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x + 1 + 1

Beleza? Quando substituímos x por infinito, obtemos ∞ ∞ , ou seja, precisamos manipular um pouco para levantar essa indeterminação!

Mas se você olhar com carinho, temos uma razão de dois polinômios de grau 1, e em limites com razão de polinômios a estratégia é: dividir todos os termos pelo termo de maior expoente e avaliar o limite

lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x + 1 = lim x → ∞ ⁡ 2 x x + 3 x 2 x x + 1 x = lim x → ∞ ⁡ 2 + 3 x 2 + 1 x

Os termos 1 / x e 3 / x vão à zero quando x → ∞ , então temos

lim x → ∞ ⁡ 2 + 3 x 2 + 1 x = 2 2 = 1

Daí lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x + 1 = 1 !

Isso nos leva ao segundo resultado! Agora é só juntar os dois!

Passo 4

Do passo 2:

lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x + 1 x = e

Agora do passo 3:

lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x + 1 = 1

E lá do passo 1 o nosso limite original foi dividido nesses dois

lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x + 1 x + 1 = lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x + 1 x ⋅ lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x + 1 + 1

Agora é só substituir os resultados

lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x + 1 x + 1 = e . 1 = e

E taí nosso resultado!

lim x → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 x + 1 x + 1 = e

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

e

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