Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

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Enunciado

Dê o que se pede:

  1. Determine as constantes a ,   b ∈ R tais que:
  2. lim x → ∞ ⁡ a x + b - x 1000 + 1 x 999 + 1 = 0

  3. Prove ou dê um contraexemplo:

“Seja f uma função definida e derivável em todo R . Se a derivada de f for contínua, então f é derivável até segunda ordem em todo R .

Passo 1

Falaaa pessoal! Nesse tipo de questão é importante destrinchar o problema até que achemos uma condição que desviasse o valor da expressão de 0 e usarmos as constantes a , b como forma de evitar isso. Vejamos:

lim x → ∞ ⁡ a x + b - x 1000 + 1 x 999 + 1 = lim x → ∞ ⁡ a x + b x 999 + 1 - x 1000 - 1 x 999 + 1 =

= lim x → ∞ ⁡ a x 1000 + a x + b x 999 + b - x 1000 - 1 x 999 + 1 =

= lim x → ∞ ⁡ a - 1 x 1000 + b x 999 + a x + ( b - 1 ) x 999 + 1 ⋅ 1 x 999 1 x 999 =

= lim x → ∞ ⁡ a - 1 x + b + a x - 998 + b - 1 x - 999 1 + x - 999

Enquanto os termos com expoente negativo ( x - 998 ,   x - 999   ) tendam a 0 de forma que teríamos:

a - 1 x + b + a x - 998 + b - 1 x - 999 1 + x - 999 → a - 1 x + b

Repare que o termo acompanhado de x vai a infinito, para evitar isso, tomamos a = 1 . Logo,

a - 1 x + b → b

Para que o limite seja de fato 0 , precisamos pois tomar b = 0 .

Resposta

a = 1 ,     b = 0

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