Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

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Enunciado

Calcule os limites abaixo

b )   lim x → ∞ ⁡ x - 1 x x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

A ideia é calcular esse limite aqui

lim x → ∞ ⁡ x - 1 x x

Mas calma! Antes vamos relembrar de todos os limites fundamentais que estudamos, assim podemos identificar qual deles o nosso limite mais se aproxima

Estão aqui os limites que você precisa ter na manga para resolver qualquer questão assim:

E aí? E depois? Depois é #partiu #manipulação para deixar o nosso limite com a cara de um limite fundamental! Assim vamos conseguir usar os resultados e calcular o nosso limite de boas!

Então a ideia é usar essas informações para calcular o nosso limite!

Mas relaxa!

Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

Passo 2

Primeiro vamos olhar para nosso limite

lim x → ∞ ⁡ x - 1 x x

E lembrar do primeiro limite fundamental daquele quadro em azul do passo anterior

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Temos algo parecido, não é? Sim! Precisamos manipular um pouco...

Tranquilo?

Passo 3

A ideia agora é #manipulação

lim x → ∞ ⁡ x - 1 x x

Vamos separar o que está dentro dos parênteses em duas frações com denominador x :

lim x → ∞ ⁡ x x - 1 x x = lim x → ∞ ⁡ 1 - 1 x x

Agora podemos fazer uma pequena mudança de variável:

- 1 x = 1 u

Assim vamos ter ali dentro dos parênteses exatamente o que precisamos! E com isso temos também

u = - x → x = - u

Vamos substituir isso no nosso limite, saca só

lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u - u

E agora? Calma! Estamos quase no fim!

Agora a gente vai usar o truque sujo (nada sujo, é um truquinho superlegal de se fazer e funciona para muitas coisas!) de passar o limite para dentro! Isso mesmo, o limite como é um operador linear, ele pode ir parar dentro de funções compostas, aí ele vai atuar apenas na função de dentro!

E qual seria a função de dentro? Seria

lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u u

E aquele ( - 1 ) pode ficar como uma função mais de fora, funcionando como um expoente em tudo!

lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u - u = lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u u ⏝ = e - 1 = e - 1 = 1 e

E taí nosso resultado!

lim x → ∞ ⁡ x - 1 x x = 1 e

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

1 / e

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