Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

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Enunciado

Calcule os seguintes limites:

b) lim x → 0 + ⁡ x x 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente calcular o valor da função f x = x x 2 quando o valor de x se aproxima de zero pela direita, ou seja, por valores maiores do que zero.

Repare que apenas substituindo zero no lugar de x , nós teríamos uma indeterminação 0 0 . Então, vamos manipular um pouquinho nossa função pra sair da indeterminação e conseguir substituir o valor do limite.

Vamos lá!

Passo 2

Temos:

lim x → 0 + ⁡ x x 2

A gente pode usar o ln pra sair dessa exponencial, ficamos assim:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x 2

Usando a propriedade de logaritmo:

lim x → 0 + ⁡ x 2 ln ⁡ x

A gente ainda permanece na indeterminação, porque o ln de zero não é definido. Então, vamos usar a regra de L’Hospital pra nos ajudar, mas antes precisamos escrever a função como um quociente:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 x 2

E aí podemos derivar numerador e denominador separadamente:

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 2 x 3

Simplificando, temos:

lim x → 0 + ⁡ - x 2 2

E podemos substituir o valor do limite:

lim x → 0 + ⁡ - x 2 2 = - 0 2 2 = 0

E encontramos nosso limite. Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 0 + ⁡ x x 2 = 0

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