Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

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Enunciado

Calcule os limites abaixo

a )   lim x → 3 ⁡ x + 13 - 4 x 2 - 9

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá? Precisamos calcular esse limite aqui

lim x → 3 ⁡ x + 13 - 4 x 2 - 9

O problema é quando você instintivamente substitui o x por 3

lim x → 3 ⁡ x + 13 - 4 x 2 - 9 = 3 + 13 - 4 ( 3 ) 2 - 9 = 16 - 4 9 - 9 = 0 0

Poxa vida! Encontramos uma indeterminação!

Sabemos também que quando temos algo do tipo 0 / 0 ou ∞ / ∞ como resultado de um limite temos uma opção: manipulação!

Então a ideia é manipular essa expressão para levantar a indeterminação e assim poder avaliar novamente o limite!

Mas relaxa!

Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

Passo 2

Primeiro vamos olhar para o limite novamente, mas agora com carinho

lim x → 3 ⁡ x + 13 - 4 x 2 - 9

Tá vendo que tem uma raiz no numerador? Pois é! É ela que nos deu a pista do que fazer: racionalização!

Isso mesmo! Racionalização não serve só para tirar do denominador a raiz, serve para levantar indeterminações também!

Então é isso que vamos fazer: racionalizar o numerador! Para isso vamos multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado dessa raiz:

lim x → 3 ⁡ x + 13 - 4 x 2 - 9 × ( x + 13 + 4 ) ( x + 13 + 4 )

Em cima vamos ter a diferença entre quadrados

a 2 - b 2 = ( a - b ) ( a + b )

No nosso caso a = x + 13 ,   b = 4 , e embaixo vamos deixar como está (por enquanto)

Outra dica: faz uma manipulação de cada vez, não vai multiplicando tudo por todo mundo, vai que você perde uma simplificação!

voltando ao nosso limite

lim x → 3 ⁡ x + 13 - 4 x 2 - 9 × x + 13 + 4 x + 13 + 4 = lim x → 3 ⁡ x + 13 2 - 4 2 x 2 - 9 x + 13 + 4

Resolvendo o numerador:

lim x → 3 ⁡ x - 3 x 2 - 9 x + 13 + 4

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora vamos olhar novamente nosso limite

lim x → 3 ⁡ x - 3 x 2 - 9 x + 13 + 4

Se apenas substituirmos x = 3 , vamos ainda ter 0 / 0 , isso porque ainda não simplificamos nada! Apenas racionalizamos! E as vezes só isso não é suficiente!

Tudo bem até aqui? Mas dá uma olhada com mais carinho ainda o denominador

x 2 - 9

Não é uma diferença entre quadrados? Então podemos rescrever como

x 2 - 9 = ( x - 3 ) ( x + 3 )

Não é mesmo? Será que assim não vamos simplificar? Vamos sim! Saca só:

lim x → 3 ⁡ x - 3 x 2 - 9 x + 13 + 4 = lim x → 3 ⁡ x - 3 ( x - 3 ) ( x + 3 ) x + 13 + 4 = lim x → 3 ⁡ 1 ( x + 3 ) x + 13 + 4

agora sim! Conseguimos simplificar o que deixava aquela indeterminação! Bora avaliar esse limite de novo

lim x → 3 ⁡ 1 ( x + 3 ) x + 13 + 4 = 1 ( 3 + 3 ) 3 + 13 + 4 = 1 6.8 = 1 48

E taí nosso resultado!

lim x → 3 ⁡ x + 13 - 4 x 2 - 9 = 1 48

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

1 48

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