Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

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Enunciado

  1. Calcule os limites abaixo:

r. lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 / x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Temos mais um limite para resolver. Vamos começar substituindo por infinito!

lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 / x = 1 + 0 ∞ = 1 ∞

Repara que caímos em uma indeterminação. Mas fica tranquilo que essa questão nós conseguirmos fazer usando o Limite Fundamental Exponencial. Para quem não lembra, ele diz isso aqui:

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Se você reparar é meio parecido ne. Tem uma potência e a variável x aparece tanto na base quanto no expoente. E é nessas similaridades que você tem que ficar ligado pra resolver esse tipo de questão!

Aaaaaah mas ele nem é tão parecido assim, e agora? Fica tranquilo, que podemos dar uma mexida na função pra ficar mais parecido e resolver esse limite!

Passo 2

Repara que que no Limite Fundamental Exponencial u → ± ∞ e na nossa função x → 0 . Vamos então fazer uma mudança de variáveis pra ficar igual. Se pegarmos o 1 x e o chamarmos de u :

u = 1 x

Vamos ter,

x → 0   ;   u → ∞

Fazendo essa mudança de variável no limite ficamos com,

lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 / x = lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Repara que ao fazer a mudança, chegamos no nosso limite fundamental exponencial!

Resposta

e

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Prove:underset(x - + oo)(lim) cosech x = 0
Prove:underset(x - + oo)(lim) cotgh x = 1
Encontre os limites34.underset(x - + oo)(lim) (1 - e^x)/(1 + e^x)
Encontre os limites35.underset(x - + oo)(lim) (e^x + e^(- x))/(e^x - e^(- x))
Encontre os limites33.underset(x - - oo)(lim) (1 - e^x)/(1 + e^x)