Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

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Enunciado

Calcule:

  lim x → + ∞ ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x

Passo 1

Substituindo, temos indeterminação:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x = ∞ ∞ ∞

Passo 2

Antes de fazer esse cara se parecer com o Limite Fundamental Exponencial, temos que fazer algumas pequenas mudanças dentro dele. Em primeiro lugar, vamos dividir o termo de 3 x em cima e embaixo:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x = lim x → + ∞ ⁡ 3 x 1 - 2 3 x 3 x 1 + 1 3 x 2 x

= lim x → + ∞ ⁡ 1 - 2 3 x 1 + 1 3 x 2 x

Agora, pelas propriedades dos limites, calculamos o limite do quociente como o quociente dos limites:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - 2 3 x 1 + 1 3 x 2 x = lim x → + ∞ ⁡ 1 - 2 3 x 2 x lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 3 x 2 x

Repara que, nesse formato, podemos usar o Limite Fundamental Exponencial nos dois!

Passo 3

Começamos calculando o limite no numerador.

Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:

- 2 3 x = 1 u → x = - 2 u 3

x → + ∞   ; u → - ∞

Com isso, o termo do enunciado seria:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - 2 3 x 2 x = lim u → - ∞ ⁡ 1 + 1 u - 4 u 3 = lim u → - ∞ ⁡ 1 + 1 u u - 4 3

= lim u → - ∞ ⁡ 1 + 1 u u - 4 3 = e - 4 3

Passo 4

Agora calculamos o limite do denominador.

Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:

1 3 x = 1 u → x = u 3

x → + ∞   ; u → + ∞

Com isso, o termo do enunciado seria:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 3 x 2 x = lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u 2 u 3 = lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u u 2 3

= lim u → + ∞ ⁡ 1 + 1 u u 2 3 = e 2 3

Passo 5

Substituindo os resultados, teremos:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - 2 3 x 2 x lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 3 x 2 x = e - 4 3 e 2 3 = 1 e 4 3 e 2 3 = 1 e 6 3

= 1 e 2 = e - 2

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x = e - 2

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