Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

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Enunciado

  1. Calcule os limites:
  1. lim x → ∞ ⁡ 2 x 6 - 7 x + 3 4 x 6 + x + 5
  2. lim x → ∞ ⁡ 3 x - x 2 + 3
  3. lim x → ∞ ⁡ 1 + 3 x x

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos um limite tendendo a infinito para resolver!
  2. A primeira coisa que faremos para tentar resolver esse limite é substituir na função e descobrir o que dá:

    lim x → ∞ ⁡ 2 x 6 - 7 x + 3 4 x 6 + x + 5 = 2 ∞ 6 - 7 ∞ + 3 4 ∞ 6 + ∞ + 5 = ∞ ∞

    Repara que caímos em uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ .

    Agora vamos tentar resolver esse limite!

    Passo 2

    Galera, quando tiver uma indeterminação deste tipo, temos que manipular a função pra que ele fique de um jeito que não gere uma indeterminação. E tem várias formas de fazer essa manipulação das funções. Aqui, nos vamos começar colocando o x com expoente de maior grau em evidência. Esse caminho de colocar termos em evidência é bem comum pra trabalhar com funções polinomiais.

    Neste caso, o x com maior expoente é o x 6 , tanto no numerador, como no denominador. Então fica assim:

    lim x → ∞ ⁡ 2 x 6 - 7 x + 3 4 x 6 + x + 5 = lim x → ∞ ⁡ x 6 2 - 7 x 7 + 3 x 6 x 6 4 + 1 x 7 + 5 x 6

    Repara que agora podemos cortar o x 6 ,

    lim x → ∞ ⁡ 2 - 7 x 7 + 3 x 6 4 + 1 x 7 + 5 x 6

    Por fim, vamos substituir o na função. Lembrando que uma costante dividida por um número muito grande tenderá a zero. Logo,

    lim x → ∞ ⁡ 2 - 7 x 7 + 3 x 6 4 + 1 x 7 + 5 x 6 = 2 - 0 - 0 4 + 0 + 0 = 2 4 = 1 2

    Então perceba que, com a manipulação que a gente fez, a gente não cai mais numa indeterminação. Agora vamos para letra b!

    Passo 3

  3. Na letra b, também começamos substituindo o na função. Então encontramos uma indeterminação do tipo ∞ - ∞ ,
  4. lim x → ∞ ⁡ 3 x - x 2 + 3 = ∞ - ∞

    Para resolver essa indeterminação, vamos colocar o x em evidência. Fica assim,

    lim x → ∞ ⁡ 3 x - x 2 + 3 = l i m x → ∞ x 3 - 1 + 3 x 2

    Agora vamos substituir o na fórmula. Aqui de novo, temos que lembrar que uma costante dividida por um número muito grande tenderá a zero. Logo,

    lim x → ∞ ⁡ x 3 - 1 + 3 x 2 = ∞ ( 3 - 1 + 0 ) = ∞

    Prontinho!

    Passo 4

  5. Agora temos que calcular esse limite aqui:

lim x → ∞ ⁡ 1 + 3 x x

Para resolver essa, vamos usar o limite fundamental exponencial que diz que:

lim x → ∞ ⁡ 1 + a x x = e a

Onde a é uma constante qualquer.

Agora repara que esse limite fundamental é muito parecido com o limite que temos que resolver aqui, onde a = 3 . Sendo assim:

lim x → ∞ ⁡ 1 + 3 x x = e 3

Resposta

  1. 1 2
  2. e 3

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