Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

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Enunciado

Calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique por quê.

  1. lim h → 1 ⁡ h h - h + h - 1 h - 1
  2. lim x → ∞ ⁡ x + 5 x x
  3. lim x → 0 ⁡ x   +   s e n x s e n ( 6 x )

Passo 1

Bom pessoal, vamos fazer cada um dos limites que esse enunciado está nos pedindo um de cada vez, começando pela letra “a”:

lim h → 1 ⁡ h h - h + h - 1 h - 1

Percebemos que se aplicarmos o valor de h = 1 na expressão, vamos encontrar:

1 1 - 1 + 1 - 1 1 - 1 = 0 0

Quando temos uma indeterminação assim, temos podemos e usar a técnica de L’Hospital! Derivamos o numerador e o denominador:

lim h → 1 ⁡ ( h h - h + h - 1 ) ' ( h - 1 ) '

Para derivar isso ai, vamos melhorar a expressão do numerador:

h h - h + h - 1 = h ⋅ h 1 2 - h + h 1 2 - 1 = h 1 2 + 1 - h + h 1 2 - 1 = h 3 2 - h + h 1 2 - 1

Ficou feio ne? Mas eu tô dizendo que isso é melhor, porque agora temos várias potências de h e potência é uma coisa que a gente sabe derivar. Vamos voltar para a derivada:

lim h → 1 ⁡ h 3 2 - h + h 1 2 - 1 ' h - 1 ' = lim h → 1 ⁡ 3 2 h 3 2 - 1 - 1 + 1 2 h 1 2 - 1 1

Simplificando a expressão:

lim h → 1 ⁡ 3 2 h 1 2 - 1 + 1 2 h - 1 2 1

Agora vamos substituir novamente h = 1 :

3 2 ⋅ 1 1 2 - 1 + 1 2 ⋅ 1 - 1 2 1 = 3 2 - 1 + 1 2 = 1

Ou seja, o limite foi encontrado:

lim h → 1 ⁡ h h - h + h - 1 h - 1 = 1

Passo 2

Agora que já completamos a primeira, vamos para a letra “b”:

lim x → ∞ ⁡ x + 5 x x

Aqui temos uma fração elevada a x , sabe o que isso me lembra? O limite fundamental exponencial, veja aqui:

lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Vamos colocar o nosso limite nesse formato:

lim x → ∞ ⁡ 1 + 5 x x

Dessa forma, olhando para a fração dentro da expressão e comparando com o limite fundamental, vamos fazer uma conversão de variável, pra poder usar a nossa propriedade:

5 x = 1 u

Então descobrimos que a relação entre x e u é:

x = 5 u

Quando fazemos x tender a infinito:

x → ∞

Também estamos fazendo:

u → ∞

Logo, nosso limite original fica da seguinte forma:

lim x → ∞ ⁡ 1 + 5 x x = lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u 5 u

O que está diferente do limite fundamental exponencial é esse expoente, mas podemos reescrever como:

lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u 5 u = lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u u 5

Então agora sim, podemos substituir o limite interno por:

lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u u 5 = e 5

Então conseguimos chegar no resultado do limite inicial que gostaríamos:

lim x → ∞ ⁡ x + 5 x x = e 5

Passo 3

Você já chegou no último limite que precisamos calcular, vamos acabar com isso:

lim x → 0 ⁡ x   +   s e n x s e n ( 6 x )

Vamos começar substituindo o valor de x = 0 para ver no que chegamos:

0 + s e n 0 s e n ( 6 ⋅ 0 ) = 0 0

Ou seja, como no primeiro limite, vamos usar a técnica de L’Hospital e vamos derivar o numerador e o denominador:

lim x → 0 ⁡ x   +   s e n x ' s e n 6 x ' = lim x → 0 ⁡ 1   +   c o s x 6 ⋅ cos ⁡ 6 x

Aplicando novamente o valor do limite:

lim x → 0 ⁡ 1   +   c o s x 6 ⋅ cos ⁡ 6 x = 1 + cos ⁡ 0 6 ⋅ c o s ⁡ ( 0 ) = 1 + 1 6 ⋅ 1 = 2 6 = 1 3

Ou seja, conseguimos mais uma vez chegar ao limite final:

lim x → 0 ⁡ x   +   s e n x s e n ( 6 x ) = 1 3

Resposta

  1. lim h → 1 ⁡ h h - h + h - 1 h - 1 = 1

  2. lim x → ∞ ⁡ x + 5 x x = e 5

lim x → 0 ⁡ x   +   s e n x s e n ( 6 x ) = 1 3

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