Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

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Enunciado

C1. Calcule os limites abaixo, sabendo que lim x → x 0 ⁡ f ( x ) = 5 e que lim x → x 0 ⁡ g ( x ) = - 2 .

(d) lim x → x 0 ⁡ g x 3   .     2 f x + g ( x ) .

Passo 1

Faaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês?? Bora lá resolver mais uma questão!!

Pra esse exercício aqui, podemos ver que ele é um daqueles bem clássicos de cálculo 1, já que ele começa nos dando algumas informações base, e a partir dela, nos pede para calcular algo novo!

Avaliando melhor o enunciado da questão, vemos então que ele nos dá duas condições: uma para o limite referente a função f ( x ) e outra para o limite referente a função g ( x ) , separadamente.

E, a partir disso, devemos então calcular um novo limite, o qual envolverá as duas funções juntas!

Tá, mas o que eu devo fazer para resolver esse novo limite?

Para fazer isso de maneira bem tranquilinha, devemos primeiramente separar algumas informações e lembrar de certas propriedades dos limites!

Bora lá então!!

Passo 2

O enunciado nos deu que: lim x → x 0 ⁡ f ( x ) = 5 , e que lim x → x 0 ⁡ g ( x ) = - 2 .

Então, nós já sabemos o valor individual de cada um dos limites da função!

E agora, devemos calcular o seguinte: lim x → x 0 ⁡ g x 3   .     2 f x + g ( x ) .

Meu deus do céu, o que é isso? Que negócio horrível!

Mas caaaalma que de difícil esse limite não tem nada! Prometo!

Tá, mas por onde eu começo a resolver isso então?

Antes de tudo vamos entender o que temos nesse novo limite a ser calculado: vamos observar ali que temos primeiramente uma função elevada ao cubo, que multiplica um número constante (2), o qual está elevado a uma soma de funções!

Pra resolvermos esse monstrinho, vamos então utilizar algumas propriedades dos limites. Mas como temos várias coisas acontecendo ao mesmo tempo, vamos aplicá-los um de cada vez!

A primeira propriedade que podemos utilizar, é a de produto de funções, já que temos a multiplicação de duas funções. Essa propriedade é a seguinte:

lim ⁡ f x * g x = lim ⁡ f x * l i m ⁡ g ( x )

Então, vamos ter que:

lim x → x 0 ⁡ g x 3   .     2 f x + g ( x ) = lim x → x 0 ⁡ g x 3 * lim x → x 0 ⁡ 2 f x + g ( x )

Agora vamos observar que o primeiro limite a ser resolvido no resultado acima, é uma função elevada ao cubo. Pra isso, como se trata de uma potência presente ali, vamos aplicar a propriedade existente para isso, que diz que: lim ⁡ f x n = lim ⁡ f x n .

Então:

lim x → x 0 ⁡ g x 3 * lim x → x 0 ⁡ 2 f x + g x = lim x → x 0 ⁡ g x 3 * lim x → x 0 ⁡ 2 f x + g ( x )

Olha só que legal, o nosso novo limite já começou a tomar forma!

Agora, para a segunda parte da multiplicação, por termos o número 2 elevado a uma soma de funções, podemos aplicar aqui duas propriedades: a de exponencial e a de soma.

Para a primeira, temos que: lim ⁡ b f x = b lim ⁡ f x ; e para a segunda temos que: lim ⁡ f x + g x = lim ⁡ f x + l i m ⁡ g ( x ) .

Então, aplicando isso no nosso novo limite a ser calculado, vamos ter que:

lim x → x 0 ⁡ g x 3 * lim x → x 0 ⁡ 2 f x + g x = lim x → x 0 ⁡ g x 3 * 2 l i m x → x 0 f x   + l i m x → x 0 g x

Olha só que legal! Essa propriedade dividiu a nossa conta em alguns valores que já sabemos quais são!

Vamos então utilizar aquelas informações base que o enunciado nos deu, que obteremos o nosso resultado!

lim x → x 0 ⁡ g x 3 * 2 l i m x → x 0 f x   + l i m x → x 0 g x = - 2 3 * 2 5 + - 2 = - 8 * 2 3 = - 8 * 8 = - 64

Prontinho! Pra essa questão é isso pessoal!

O segredo de exercícios assim é sempre lembrar dessas propriedades chave! Então já deixa anotado no seu caderninho aí e vamo que vamo!!

Bora lá resolver mais uma questãozinha?

Resposta

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