Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

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Enunciado

Calcule os limites abaixo

e )   lim x → ∞ ⁡ 1 + 5 x x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

A ideia é calcular esse limite aqui

lim x → ∞ ⁡ 1 + 5 x x

Mas calma! Antes vamos relembrar de todos os limites fundamentais que estudamos, assim podemos identificar qual deles o nosso limite mais se aproxima

Estão aqui os limites que você precisa ter na manga para resolver qualquer questão assim:

E aí? E depois? Depois é #partiu #manipulação para deixar o nosso limite com a cara de um limite fundamental! Assim vamos conseguir usar os resultados e calcular o nosso limite de boas!

Então a ideia é usar essas informações para calcular o nosso limite!

Mas relaxa!

Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

Passo 2

Primeiro vamos olhar para nosso limite

lim x → ∞ ⁡ 1 + 5 x x

E lembrar do primeiro limite fundamental daquele quadro em azul do passo anterior

lim u → ± ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Temos algo parecido, não é? Sim! A menos de uma constante 5 ali em cima do x , é igual ao nosso fundamental!

Tranquilo?

Passo 3

A ideia agora é #manipulação

lim x → ∞ ⁡ 1 + 5 x x

Agora a gente vai usar o truque sujo (nada sujo, é um truquinho superlegal de se fazer e funciona para muitas coisas!) de chamar

5 x = 1 u

Assim fazendo essa substituição vamos ter exatamente o formato do limite fundamental. Com essa substituição temos também que

u = x 5 → x = 5 u

Aí nosso limite fica assim

lim x → ∞ ⁡ 1 + 5 x x = lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u 5 u

E aquele 5 pode ficar como uma função mais de fora, funcionando como um expoente em tudo!

lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u 5 u = lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u u ⏝ = e 5 = e 5

E taí nosso resultado!

lim x → ∞ ⁡ 1 + 5 x x = e 5

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

e 5

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Prove:underset(x - + oo)(lim) cotgh x = 1
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Encontre os limites35.underset(x - + oo)(lim) (e^x + e^(- x))/(e^x - e^(- x))
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