Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

PUC-RJ - Cálculo B - P2 2012.2 - 1b

Seja f x = x + c x - c ,             c     R :

Determine o valor de c tal que lim x f x x = 4 ;

Passo 1

Substituindo, temos indeterminação:

lim x + x + c x - c x = 1

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Passo 2

Vamos calcular esse limite:

lim x f x x = lim x x + c x - c x

Antes de fazer esse cara se parecer com o Limite Fundamental Exponencial, temos que fazer algumas pequenas mudanças dentro dele. Em primeiro lugar, vamos dividir o termo de x em cima e embaixo:

lim x + x + c x - c x = lim x + x 1 + c x x 1 - c x x

= lim x + 1 + c x 1 - c x x

Agora, pelas propriedades dos limites, calculamos o limite do quociente como o quociente dos limites:

lim x + 1 + c x 1 - c x x = lim x + 1 + c x x lim x + 1 - c x x

Repara que, nesse formato, podemos usar o Limite Fundamental Exponencialnos dois!

Passo 3

Começamos calculando o limite no numerador.

Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:

lim u ± 1 + 1 u u = e

Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:

c x = 1 u

Logo, x é c . u

x +   ; u +

Com isso, o termo do enunciado seria:

lim x + 1 + c x x = lim u + 1 + 1 u c u = lim u + 1 + 1 u u c

= lim u + 1 + 1 u u c = e c

Passo 4

Agora calculamos o limite do denominador.

Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:

lim u ± 1 + 1 u u = e

Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:

- c x = 1 u x = - c u

x +   ; u -

Com isso, o termo do enunciado seria:

lim x + 1 - c x x = lim u - 1 + 1 u - c u = lim u - 1 + 1 u u - c

= lim u - 1 + 1 u u - c = e - c

Passo 5

Substituindo os resultados, teremos:

lim x + 1 + c x x lim x + 1 - c x x = e c e - c = e c e c

= e 2 c

Ora, se o resultado for 4 , então

e 2 c = 4 2 c = ln 4 = 2 ln 2

c = ln 2

Resposta

  c = ln ( 2 )

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