Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria

Enunciado

Calcule, caso exista, os limites abaixo (em alguns casos você pode usar o teorema do confronto).

d) lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x 2 y e y x 4 + 4 y 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função x 2 y e y x 4 + 4 y 2 , quando ( x ,   y ) tende ao ponto ( 0 ,   0 ) . Repare que substituindo esse ponto na função, temos uma indeterminação do tipo 0 0 .

Repare também que o grau do numerador é menor do que o grau do denominador. E quando temos uma indeterminação nessas condições, temos um forte indício de que esse limite não existe.

Pra verificar se ele realmente não existe, precisamos calcular o limite por diferentes caminhos e verificar se o valor obtido é igual ou diferente. Se forem diferentes, podemos dizer que o limite não existe. E é isso que nós vamos fazer antes de tentar calcular o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Pra verificar se esse limite existe, vamos usar diferentes retas que passem pelo ponto ( 0 ,   0 ) . Existem infinitos caminhos, mas aqui vamos usar x = 0 e y = x 2 .

Começando com a reta x = 0 , vamos simplesmente substituir o valor na função e calcular o limite:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x 2 y e y x 4 + 4 y 2 = lim y → 0 ⁡ 0 ∙ y e y 0 + 4 y 2

= lim y → 0 ⁡ 0 4 y 2 = lim y → 0 ⁡ 0

= 0

Agora vamos calcular o limite pelo caminho y = x 2 :

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x 2 y e y x 4 + 4 y 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 x 2 e x 2 x 4 + 4 ( x 2 ) 2

= lim x → 0 ⁡ x 4 e x 2 5 x 4 = lim x → 0 ⁡ 1 5 e x 2

Aplicando o limite:

= 1 5 e 0 = 1 5 ∙ ( 1 ) = 1 5

Opa! Os limites deram diferentes. Então, nós usamos a mesma ideia de funções de uma variável. Se o valor do limite for diferente para caminhos diferentes, o limite não existe. Logo, nosso limite não existe.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

N ã o   e x i s t e

Exercícios de Livros Relacionados

Usando as propriedades, calcular os limites seguintes:a) lim x → 1 y → 2 ⁡ 2 x y + x 2 - x y
Calcular os seguintes limites de funções compostas:a) lim x → 1 y → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 + 10
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: c) f x ,y = 3 x y x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: d) f x ,y = x 6 + x 2 x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Calcular os limites seguintes:g) underset([[x - 1],[y - 1]])(lim) (x^2 - y x)/(x^2 - y^2)