Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Calcule, caso exista, os limites abaixo (em alguns casos você pode usar o teorema do confronto).

f) lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 - 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função x 2 sin 2 ⁡ ( y ) 2 y 2 , quando ( x ,   y ) tende ao ponto ( 0 ,   0 ) . Repare que substituindo esse ponto na função, temos uma indeterminação do tipo 0 0 .

Então, vamos tentar fugir dessa indeterminação manipulando um pouco nossa função. Como temos uma raiz no denominador da fração, vamos racionalizar esse denominador, multiplicando em cima e embaixo pelo conjugado x 2 + y 2 + 1 + 1 .

Vamos lá!

Passo 2

Racionalizando nossa função, temos:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 - 1 ∙ x 2 + y 2 + 1 + 1 x 2 + y 2 + 1 + 1

Multiplicando em cima e embaixo, vamos obter:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 + 1 x 2 + y 2 + 1 - 1

= lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 + 1 x 2 + y 2

Simplificando:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x 2 + y 2 + 1 + 1

E aplicando o limite, temos:

= 0 2 + 0 2 + 1 + 1

= 1 + 1 = 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2

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