Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Calcule, caso exista, os limites abaixo (em alguns casos você pode usar o teorema do confronto).

l) lim x ,   y → 1 ,   1 ⁡ 2 x 2 - x y - y 2 x 2 - y 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função 2 x 2 - x y - y 2 x 2 - y 2 , quando ( x ,   y ) tende ao ponto ( 1 ,   1 ) .

Repare que quando substituímos o ponto na nossa função, obtemos uma indeterminação do tipo 0 0 . Então, vamos tentar fugir dessa indeterminação fatorando nossa expressão e simplificando.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos dar uma olhadinha no nosso limite:

lim x ,   y → 1 ,   1 ⁡ 2 x 2 - x y - y 2 x 2 - y 2

Fatorando, temos:

lim x ,   y → 1 ,   1 ⁡ ( 2 x + y ) ( x - y ) ( x + y ) ( x - y )

Simplificando os termos semelhantes:

lim x ,   y → 1 ,   1 ⁡ 2 x + y x + y

E aplicando o limite:

= 2 ∙ 1 + 1 1 + 1

= 3 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

3 2

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Calcular os seguintes limites de funções compostas:a) lim x → 1 y → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 + 10
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: c) f x ,y = 3 x y x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: d) f x ,y = x 6 + x 2 x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Calcular os limites seguintes:g) underset([[x - 1],[y - 1]])(lim) (x^2 - y x)/(x^2 - y^2)