Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Calcule, caso exista, os limites abaixo (em alguns casos você pode usar o teorema do confronto).

i) lim x ,   y → 0 ,   1 ⁡ x 2 y - x 2 + y - 1 y - 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função x 2 y - x 2 + y - 1 y - 1 , quando ( x ,   y ) tende ao ponto ( 0 ,   1 ) .

Repare que quando substituímos o ponto na nossa função, obtemos uma indeterminação do tipo 0 0 . Então, vamos tentar fugir dessa indeterminação fatorando nossa expressão e simplificando.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos dar uma olhadinha no nosso limite:

lim x ,   y → 0 ,   1 ⁡ x 2 y - x 2 + y - 1 y - 1

Colocando x 2 em evidência, temos:

lim x ,   y → 0 ,   1 ⁡ x 2 y - 1 + ( y - 1 ) y - 1

Agora podemos colocar ( y - 1 ) em evidência:

lim x ,   y → 0 ,   1 ⁡ ( y - 1 ) ( x 2 + 1 ) y - 1

Simplificando:

lim x ,   y → 0 ,   1 ⁡ ( x 2 + 1 )

E aplicando o limite:

= 0 2 + 1

= 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1

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Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: d) f x ,y = x 6 + x 2 x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
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