Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

2.1. Calcule os seguintes limites, caso existam. Justifique quando não existirem:

g) lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 3 - y

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos obter o limite da função f x , y = x y x 3 - y para x , y → 0,0 .

Parece de boa? 👀

Obter o limite de uma função é o mesmo que obter o valor que a função tende quando nos aproximamos do ponto indicado.

Em funções de duas variáveis, podemos usar o método de aproximação através de curvas. Nesse método fazemos as aproximações através de curvas que passam pelo ponto de estudo, ou seja, escolhemos algumas curvas x = f y e/ou y = f x e substituímos na função, se em algumas das curvas o limite for diferente, significa que o limite diverge...

Sacou? Bora ver na prática! 😁

Passo 2

Temos que escolher curvas que passam pelo ponto 0,0 , vamos começar pela mais simples...

x = 0

Substituindo x por 0 no limite, temos

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 3 - y → lim 0 , y → 0,0 ⁡ 0 y 0 3 - y

lim y → 0 ⁡ 0 - y

lim y → 0 ⁡ 0 = 0

Agora vamos usar a reta y = x na aproximação do ponto...

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 3 - y → lim x , x → 0,0 ⁡ x x x 3 - x

lim x → 0 ⁡ x 2 x 3 - x

lim x → 0 ⁡ x x x x 2 - 1

lim x → 0 ⁡ x x 2 - 1

Aplicando o limite...

lim x → 0 ⁡ x x 2 - 1 = 0 0 - 1 = 0

Até aqui ta tudo certo!

Vamos continuar nossas análises. 😁

Passo 3

Agora se nos aproximarmos pela curva y = x 2 , temos

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 3 - y → lim x , x 2 → 0,0 ⁡ x x 2 x 3 - x 2

lim x → 0 ⁡ x 2 x x 3 - x 2

lim x → 0 ⁡ x 2 x x 2 x - 1

lim x → 0 ⁡ x x - 1

Aplicando o limite, vamos obter

lim x → 0 ⁡ x x - 1 = 0 0 - 1 = 0

Dessa forma, como todas as aproximações resultaram no mesmo resultado, podemos afirmar que o limite da função f x , y para x , y → 0,0 é igual a 0

(lembrando que quanto mais iterações fizermos com curvas diferentes, mais segurança vamos ter na resposta)

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 3 - y = 0

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