Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

2.1. Calcule os seguintes limites, caso existam. Justifique quando não existirem:

f) lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y x 4 + y 2

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema queremos obter o limite da função f x , y = x 2 y x 4 + y 2 para x , y → 0,0 .

Parece de boa? 👀

Obter o limite de uma função é o mesmo que obter o valor que a função tende quando nos aproximamos do ponto indicado.

Em funções de duas variáveis, podemos usar o método de aproximação através de curvas. Nesse método fazemos as aproximações através de curvas que passam pelo ponto de estudo, ou seja, escolhemos algumas curvas x = f y e/ou y = f x e substituímos na função, se em algumas das curvas o limite for diferente, significa que o limite diverge...

Sacou? Bora ver na prática! 😁

Passo 2

Temos que escolher curvas que passam pelo ponto 0,0 , vamos começar pela mais simples...

x = 0

Substituindo x por 0 no limite, temos

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y x 4 + y 2 → lim 0 , y → 0,0 ⁡ 0 2 y 0 4 + y 2

lim y → 0 ⁡ 0 y 2

lim y → 0 ⁡ 0 = 0

Agora vamos nos aproximar do ponto através da curva y = x 2 ...

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y x 4 + y 2 → lim x , x 2 → 0,0 ⁡ x 2 x 2 x 4 + x 2 2

lim x → 0 ⁡ x 4 x 4 + x 4 → lim x → 0 ⁡ x 4 2 x 4

lim x → 0 ⁡ 1 2 = 1 2

Como obtemos dois resultados diferentes, podemos afirmar que o limite da função f x , y não existe!

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

Não existe!

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Calcular os seguintes limites de funções compostas:a) lim x → 1 y → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 + 10
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: c) f x ,y = 3 x y x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: d) f x ,y = x 6 + x 2 x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Calcular os limites seguintes:g) underset([[x - 1],[y - 1]])(lim) (x^2 - y x)/(x^2 - y^2)