Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Calcule, caso exista, os limites abaixo (em alguns casos você pode usar o teorema do confronto).

e) lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x 2 sin 2 ⁡ ( y ) 2 y 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função x 2 sin 2 ⁡ ( y ) 2 y 2 , quando ( x ,   y ) tende ao ponto ( 0 ,   0 ) . Repare que substituindo esse ponto na função, temos uma indeterminação do tipo 0 0 .

Então, vamos tentar fugir dessa indeterminação usando as coordenadas polares, na forma:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Substituindo essas expressões na função, conseguimos aplicar o limite para quando r → 0 , que é equivalente a x ,   y → ( 0 ,   0 ) .

Vamos lá!

Passo 2

Substituindo x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ na função, temos:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x 2 sin 2 ⁡ ( y ) 2 y 2 = lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ ⁡ sin 2 ⁡ ( r sin ⁡ θ ) 2 r sin ⁡ θ 2

= lim r → 0 ⁡ r 2 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ ( r sin ⁡ θ ) 2 r 2 sin 2 ⁡ θ

Simplificando e usando a identidade trigonométrica cos ⁡ θ sin ⁡ θ = cot ⁡ θ , vamos obter:

lim r → 0 ⁡ sin 2 ⁡ ( r sin ⁡ θ ) cot 2 ⁡ θ 2

Agora podemos aplicar o limite, já que não temos mais indeterminação. Fica:

sin 2 ⁡ ( 0 ∙ sin ⁡ θ ) ∙ cot 2 ⁡ θ 2

sin 2 ⁡ ( 0 ) ∙ cot 2 ⁡ θ 2 = 0 ∙ cot 2 ⁡ θ 2

= 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

0

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