Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

2.2. Decida se os limites abaixo existem, determinando seu valor em caso afirmativo:

a) lim x , y → 0,0 ⁡ sin ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que obter o limite da função sin ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 e pra isso temos que usar alguma técnica para nos auxiliar nesse cálculo.

Tem ideia do que fazer? 🤔

Nesse caso, podemos usar o método de substituição para mudar nosso problema para duas dimensões condensando x e y em uma única variável.

Ou seja, se fizermos x 2 + y 2 = u , temos que se x , y → 0,0 , então u → 0 .

Sacou? Bora lá! 😉

Passo 2

Aplicando o método de substituição

lim x , y → 0,0 ⁡ sin ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 → lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u

Se tentarmos substituir u = 0 , vamos cair em uma indeterminação 0 / 0 , então vamos aplicar um método muito poderoso.

Aplicando a regra de L ' H o p i t a l , vamos obter

lim u → 0 ⁡ d sin ⁡ u d u d u d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

d sin ⁡ u d u = cos ⁡ u

d u d u = 1

Substituindo no limite e aplicando u = 0

lim u → 0 ⁡ cos ⁡ u 1 = cos ⁡ 0

lim u → 0 ⁡ cos ⁡ u 1 = 1

Portanto, temos

lim x , y → 0,0 ⁡ sin ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ sin ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1

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