Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

2.1. Calcule os seguintes limites, caso existam. Justifique quando não existirem:

k) lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 y + y 4 + x 4 x 3 y - x y 3

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema queremos obter o limite da função f x , y = x 3 y + y 4 + x 4 x 3 y - x y 3 para x , y → 0,0 .

Parece de boa? 👀

Obter o limite de uma função é o mesmo que obter o valor que a função tende quando nos aproximamos do ponto indicado.

Em funções de duas variáveis, podemos usar o método de aproximação através de curvas. Nesse método fazemos as aproximações através de curvas que passam pelo ponto de estudo, ou seja, escolhemos algumas curvas x = f y e/ou y = f x e substituímos na função, se em algumas das curvas o limite for diferente, significa que o limite diverge...

Sacou? Bora ver na prática! 😁

Passo 2

Temos que escolher curvas que passam pelo ponto 0,0 , vamos começar pela reta y = 2 x

Substituindo y por 2 x no limite, temos

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 y + y 4 + x 4 x 3 y - x y 3 → lim x , 2 x → 0,0 ⁡ x 3 2 x + 2 x 4 + x 4 x 3 2 x - x 2 x 3

lim x → 0 ⁡ 2 x 4 + 16 x 4 + x 4 2 x 4 - 8 x 4

lim x → 0 ⁡ 19 x 4 6 x 4

lim x → 0 ⁡ 19 6 = 19 6

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos fazer a nossa aproximação através da reta y = x 2

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 y + y 4 + x 4 x 3 y - x y 3 → lim x , x 2 → 0,0 ⁡ x 3 x 2 + x 2 4 + x 4 x 3 x 2 - x x 2 3

lim x → 0 ⁡ x 5 + x 8 + x 4 x 5 - x 7

Dividindo todos os termos por x 5 (pois é o termo de menor grau do denominador)

lim x → 0 ⁡ x 5 x 5 + x 8 x 5 + x 4 x 5 x 5 x 5 - x 7 x 5

lim x → 0 ⁡ 1 + x 3 + 1 x 1 - x 2

Aplicando o limite...

lim x → 0 ⁡ 1 + x 3 + 1 x 1 - x 2 = 1 + 0 3 + 1 0 1 - 0 2

Como estamos trabalhando com limite, podemos dizer que 1 0 = ∞

lim x → 0 ⁡ 1 + x 3 + 1 x 1 - x 2 = 1 + ∞ 1

lim x → 0 ⁡ 1 + x 3 + 1 x 1 - x 2 = ∞

Assim, como os resultados divergiram, podemos afirmar que o limite não existe!

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

Não existe!

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Calcular os seguintes limites de funções compostas:a) lim x → 1 y → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 + 10
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: c) f x ,y = 3 x y x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: d) f x ,y = x 6 + x 2 x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Calcular os limites seguintes:g) underset([[x - 1],[y - 1]])(lim) (x^2 - y x)/(x^2 - y^2)