Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Calcule, caso exista, os limites abaixo (em alguns casos você pode usar o teorema do confronto).

g) lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x cos ⁡ 1 y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função x cos ⁡ 1 y , quando ( x ,   y ) tende ao ponto ( 0 ,   0 ) . Repare que substituindo esse ponto na função, temos uma indeterminação do tipo 0 0 .

Então, vamos tentar fugir dessa indeterminação usando as coordenadas polares, na forma:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Substituindo essas expressões na função, conseguimos aplicar o limite para quando r → 0 , que é equivalente a x ,   y → ( 0 ,   0 ) .

Vamos lá!

Passo 2

Substituindo x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ na função, temos:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x cos ⁡ 1 y = lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ cos ⁡ 1 r sin ⁡ θ

Como nosso limite depende agora somente de r , vamos colocar os termos constantes que dependem de θ do lado de fora:

cos ⁡ θ lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ 1 r sin ⁡ θ

Passo 3

Agora vamos analisar o seguinte, a função cosseno sempre é limitada no intervalo de - 1 a 1 , ou seja:

- 1 ≤ cos ⁡ θ ≤ 1

Isso é válido pra qualquer ângulo, inclusive o nosso argumento 1 r sin ⁡ θ :

- 1 ≤ cos ⁡ 1 r sin ⁡ θ ≤ 1

Multiplicando todo mundo por r , vamos ter:

- r ≤ r cos ⁡ 1 r sin ⁡ θ ≤ r

E aplicando o limite pra quando r → 0 :

l i m r → 0 - r ≤ l i m r → 0   r cos ⁡ 1 r sin ⁡ θ ≤ l i m r → 0   ( r )

Temos:

0 ≤ l i m r → 0   r cos ⁡ 1 r sin ⁡ θ ≤ 0

Sendo assim, pelo Teorema do Confronto, nosso limite será:

l i m r → 0   r cos ⁡ 1 r sin ⁡ θ = 0

Substituindo no resultado do passo 2 , temos:

cos ⁡ θ lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ 1 r sin ⁡ θ = cos ⁡ θ ∙ 0

= 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

0

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