Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria

Enunciado

2 Calcule os limites abaixo.

(i) lim x , y → 0 , 1 ⁡ y sin ⁡ x x y + 2 x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos obter o limite de f x , y = y sin ⁡ x x y + 2 x para x , y → 0,1 .

Parece de boa? 👀

O limite de uma função descreve a tendencia de imagem dessa função ao se aproximar de um ponto.

Nesse caso, como temos o limite de uma função de duas variáveis, podemos aplicar o método das curvas. Esse método consiste em substituir uma das variáveis por curvas que passam pelo ponto de estudo, assim resultando em um limite de ima variável.

Assim, se em duas curvas diferentes encontrarmos divergências no resultado do limite, é que o limite não existe.

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

O limite é dado por

lim x , y → 0,1 ⁡ y sin ⁡ x x y + 2 x

Vamos começar por uma reta que passa por esse ponto. No caso

y = x + 1

Então substituímos y por x + 1 na função e calculamos o limite normalmente

lim x → 0 ⁡ x + 1 sin ⁡ x x x + 1 + 2 x = lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ x + sin ⁡ x x 2 + x + 2 x

lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ x x 2 + 3 x + lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x 2 + 3 x

lim x → 0 ⁡ sin ��� x x + 3 + lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x 2 + 3 x

No primeiro limite, substituindo x por 0 , vamos obter

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x + 3 = 0 0 + 3 = 0

No segundo limite ainda não podemos substituir x por 0 , pois assim iriamos cair em uma indeterminação 0 / 0 , então vamos aplicar a regra de L ' H o p i t a l derivando o numerador e o denominador.

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x 2 + 3 x → lim x → 0 ⁡ d sin ⁡ x d x d x 2 + 3 x d x → lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 x + 3

Substituindo x por 0

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 x + 3 = 1 0 + 3 = 1 3

Substituindo no limite do problema...

lim x , y → 0,1 ⁡ y sin ⁡ x x y + 2 x = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x + 3 + lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x 2 + 3 x

lim x , y → 0,1 ⁡ y sin ⁡ x x y + 2 x = 0 + 1 3

lim x , y → 0,1 ⁡ y sin ⁡ x x y + 2 x = 1 3

Entendeu como faz? 😉

Passo 3

Vamos nos aproximar agora pela curva

x = y 2 - 1

Substituindo x por y 2 - 1 temos

lim y → 1 ⁡ y sin ⁡ y 2 - 1 y 2 - 1 y + 2 y 2 - 1 = lim y → 1 ⁡ y sin ⁡ y 2 - 1 y 3 - y + 2 y 2 - 2

lim y → 1 ⁡ y sin ⁡ y 2 - 1 y 3 + 2 y 2 - y - 2

Se substituirmos y por 1 agora vamos cair em outra indeterminação 0 / 0 , então temos que aplicar L ' H o p i t a l novamente

lim y → 1 ⁡ d y sin ⁡ y 2 - 1 d y d y 3 + 2 y 2 - y - 2 d y

Pela regra do produto, temos

f = g · h → f ' = g ' · h + g · h '

d y sin ⁡ y 2 - 1 d y = d y d y · sin ⁡ y 2 - 1 + y · d sin ⁡ y 2 - 1 d y

Aplicando a regra da cadeia na derivada de sin ⁡ y 2 - 1 , temos

f x = g h x → f ' x = h ' x · g ' h x

d sin ⁡ y 2 - 1 d y = d y 2 - 1 d y d sin ⁡ u d u

Substituindo na derivada principal

d y sin ⁡ y 2 - 1 d y = d y d y · sin ⁡ y 2 - 1 + y · d y 2 - 1 d y · d sin ⁡ u d u

d y sin ⁡ y 2 - 1 d y = 1 · sin ⁡ y 2 - 1 + y · 2 y · cos ⁡ u

Simplificando e voltando u para y 2 - 1

d y sin ⁡ y 2 - 1 d y = sin ⁡ y 2 - 1 + 2 y 2 cos ⁡ y 2 - 1

Substituindo no limite e derivando o denominador pelo método de derivação polinomial

lim y → 1 ⁡ d y sin ⁡ y 2 - 1 d y d y 3 + 2 y 2 - y - 2 d y → lim y → 1 ⁡ sin ⁡ y 2 - 1 + 2 y 2 cos ⁡ y 2 - 1 3 y 2 + 4 y - 1

Substituindo y por 1

lim y → 1 ⁡ sin ⁡ y 2 - 1 + 2 y 2 cos ⁡ y 2 - 1 3 y 2 + 4 y - 1 = sin ⁡ 1 2 - 1 + 2 1 2 cos ⁡ 1 2 - 1 3 1 2 + 4 1 - 1

lim y → 1 ⁡ sin ⁡ y 2 - 1 + 2 y 2 cos ⁡ y 2 - 1 3 y 2 + 4 y - 1 = sin ⁡ 0 + 2 cos ⁡ 0 3 + 4 - 1

lim y → 1 ⁡ sin ⁡ y 2 - 1 + 2 y 2 cos ⁡ y 2 - 1 3 y 2 + 4 y - 1 = 2 6 = 1 3

Como em ambas as curvas o resultado foi o mesmo, podemos dizer que esse é o resultado do limite (lembrando que quanto mais iterações fizermos, mais validade nosso resultado terá.

lim x , y → 0,1 ⁡ y sin ⁡ x x y + 2 x = 1 3

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

lim x , y → 0,1 ⁡ y sin ⁡ x x y + 2 x = 1 3

Exercícios de Livros Relacionados

Usando as propriedades, calcular os limites seguintes:a) lim x → 1 y → 2 ⁡ 2 x y + x 2 - x y
Calcular os seguintes limites de funções compostas:a) lim x → 1 y → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 + 10
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: c) f x ,y = 3 x y x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: d) f x ,y = x 6 + x 2 x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Calcular os limites seguintes:g) underset([[x - 1],[y - 1]])(lim) (x^2 - y x)/(x^2 - y^2)