Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

2.2. Decida se os limites abaixo existem, determinando seu valor em caso afirmativo:

b) lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que obter o limite da função x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 com x , y → 0,0 e pra isso temos que usar alguma técnica para nos auxiliar nesse cálculo.

Tem ideia do que fazer? 🤔

Nesse caso, podemos usar o método de substituição para mudar nosso problema para duas dimensões condensando x e y em uma única variável.

Ou seja, se fizermos x 2 + y 2 = u , temos que se x , y → 0,0 , então u → 0 .

Antes de começarmos, perceba que u sempre será maior que 0 já que x e y estão ao quadrado.

Sacou? Bora lá! 😉

Passo 2

Aplicando a substituição no limite, temos

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 → lim u → 0 ⁡ u ln ⁡ u

Aplicando as propriedades lineares do limite, vamos obter

lim u → 0 ⁡ u ln ⁡ u = lim u → 0 ⁡ u · lim u → 0 ⁡ ln ⁡ u

No primeiro limite é simples, fazendo u = 0 , temos

lim u → 0 ⁡ u = 0

Já no segundo limite, temos

lim u → 0 ⁡ ln ⁡ u = ln ⁡ 0

Sabemos que conforme x se aproxima de 0 a função ln ⁡ x tende a - ∞ , então

lim u → 0 ⁡ ln ⁡ u = - ∞

Substituindo no limite

lim u → 0 ⁡ u ln ⁡ u = 0 · - ∞

lim u → 0 ⁡ u ln ⁡ u = 0

Portanto, temos

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 = 0

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 = 0

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