Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

(Cap. 14.2 - Ex. 12) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

x y - y x - 1 2 + y 2  

Passo 1

Fala pessoal! Tudo beleza? Bora lá resolver mais uma questão?

Essa questãozinha aqui é daquelas bem típicas de cálculo. O enunciado pede pra gente determinar se o limite existe ou não. Pra isso, a gente vai usar umas regrinhas básicas de cálculo, beleza? Bora lá então!

A função que o enunciado deu pra gente é a seguinte:

f x ,   y = x y - y x - 1 2 + y 2

Antes de tudo, vamos avaliar se o limite existe.

Do enunciado vemos que o limite tende a: x ,   y → ( 1 ,   0 ) . Porém, se tentarmos substituir diretamente esses valores na função, a gente vai chegar numa indeterminação.

Vamos ver o limite por dois caminhos diferentes então.

Primeiramente, vamos fazer percorrendo a função ao longo do eixo x , ou seja, quando y = 0 :

f x , 0 = 0 x - 1 2 = 0

O limite nesse caso é zero.

Vamos ver agora pelo segundo caminho. Para esse caso, vamos adotar x = 0 .

f 0 ,   y = 0 - y 0 - 1 2 + y 2 = - y 1 + y 2

Então o limite por esse caminho é diferente de 0.

Ou seja, a função apresenta limites diferentes quando é percorrida por dois caminhos diferentes, então o limite não existe.

Pra essa questão é isso, pessoal!! Bora resolver mais uma?

Resposta

O limite não existe.

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