Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Calcule (ou mostre que não existe) o limite:

(m)

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x - y x 4 + y 4

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... queremos encontrar o seguinte limite:

lim x , y ��� 0,0 ⁡ x y x - y x 4 + y 4

Para isso, devemos analisar bem as duas variáveis envolvidas e fazer o limite para dois casos:

  1. Fazer o limite ao longo de x = 0 ;
  2. Fazer o limite ao longo de x = y 2 .

Se os limites forem iguais, então o limite existe.

Caso contrário, o limite não existe.

E aí? Bora lá??

Passo 2

Bom... fazendo o limite ao longo de x = 0 , temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x - y x 4 + y 4 = lim y → 0 ⁡ 0 * y 0 - y 0 4 + y 4 ∴

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x - y x 4 + y 4 = lim y → 0 ⁡ 0 ∴

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x - y x 4 + y 4 = 0

Passo 3

Agora, fazendo o limite ao longo de x = y 2 , temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x - y x 4 + y 4 = lim y → 0 ⁡ y 2 * y y 2 - y y 2 4 + y 4 ∴

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x - y x 4 + y 4 = lim y → 0 ⁡ y - 1 y 4 + 1 ∴

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x - y x 4 + y 4 = - 1

Dessa forma, como foram encontrados dois valores diferentes ao percorrer dois caminhos diferentes, o limite original não existe.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

O limite não existe

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