Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria

Enunciado

Calcule os seguintes limites, caso existir, justificando também se não existir

a )   lim x → - 2 ⁡ x + 2 x 3 + 8

Passo 1

Fala galera, tudo bem?

Precisamos resolver esse limite aqui

lim x → - 2 ⁡ x + 2 x 3 + 8

Nosso instinto é substituir x por - 2 não é? Então vamos fazer isso

lim x → - 2 ⁡ x + 2 x 3 + 8 = - 2 + 2 ( - 2 ) 3 + 8 = 0 0

Encontramos uma indeterminação!

Mas calma, sempre tem um truque sujo para aplicar e levantar essa indeterminação, e aqui não vai ser diferente!

Vem comigo que te mostro!

Passo 2

Em uma situação de indeterminação do tipo ( 0 / 0 ) precisamos manipular a função até levantar a indeterminação

E como fazer isso? No caso de frações algébricas é fatorar! Isso mesmo, fatorando vamos encontrar fatores semelhantes em cima e embaixo, e assim simplificar! E é isso que vamos fazer!

Nosso limite:

lim x → - 2 ⁡ x + 2 x 3 + 8

Vamos trabalhar apenas a função que está dentro da raiz:

x + 2 x 3 + 8

No numerador não há mais o que fatorar, mas e o denominador? Tem sim! E aqui vem o truque sujo!

Aqui é legal você ter na ponta da língua a soma e diferença entre cubos:

a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2

a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 )

No nosso caso a = x e b = 2 ! Vamos usar então a regra da soma de cubos, mas anota da diferença porque vai que você acaba usando em outro limite, beleza?

Assim nosso denominador fica

x 3 + 8 = ( x + 2 ) ( x 2 - 2 x + 4 )

E voltando para nossa função

x + 2 x 3 + 8 = ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x 2 - 2 x + 4 ) = 1 x 2 - 2 x + 4

Conseguimos simplificar!

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora nossa missão é avaliar novamente o limite! Mas com a fração algébrica equivalente! Nosso limite era

lim x → - 2 ⁡ x + 2 x 3 + 8

Mas conseguimos simplificar

lim x → - 2 ⁡ x + 2 x 3 + 8 = lim x → - 2 ⁡ 1 x 2 - 2 x + 4

Agora vamos aplicar novamente o limite e simplificar ao máximo o resultado:

lim x → - 2 ⁡ 1 x 2 - 2 x + 4 = 1 ( - 2 ) 2 - 2 ( - 2 ) + 4 = 1 4 + 4 + 4 = 1 12   = 12 12 = 2 3 12 = 3 6

E é isso! Encontramos um valor finito agora!

Ufa! Terminamos! Bora para a próxima?

Resposta

3 6

Exercícios de Livros Relacionados

Usando as propriedades, calcular os limites seguintes:a) lim x → 1 y → 2 ⁡ 2 x y + x 2 - x y
Calcular os seguintes limites de funções compostas:a) lim x → 1 y → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 + 10
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: c) f x ,y = 3 x y x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: d) f x ,y = x 6 + x 2 x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Calcular os limites seguintes:g) underset([[x - 1],[y - 1]])(lim) (x^2 - y x)/(x^2 - y^2)