Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

2 Calcule os limites abaixo.

(e) lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x 1 + x y x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, queremos calcular o limite de f x , y = 1 + x 1 + x y x para x , y → 0,2 .

Parece tranquilo? 🤔

Para resolver esse problema, vamos tentar manipular a função f x , y de modo que conseguimos simplificar esse limite...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

A função f x , y é dada por

f x , y = 1 + x 1 + x y x

Podemos separar e expoente fazendo 1 + x y x = 1 x + x y x , ou seja

f x , y = 1 + x 1 x + x y x

f x , y = 1 + x 1 x + y

Como a b + c = a b a c então

f x , y = 1 + x 1 x 1 + x y

Agora sim, aplicando o limite nessa nova função, vamos obter

lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x 1 + x y x → lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x 1 x 1 + x y

Como o limite do produto é igual ao produto dos limites...

lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x 1 x 1 + x y = lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x 1 x · lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x y

Vamos começar pelo segundo limite dado por

lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x y

Substituindo x = 0 e y = 2 , vamos obter

lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x y = 1 + 0 2 = 1

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora que vem o pulo do gato! Para o primeiro limite, não podemos usar o método convencional...

lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x 1 x

Como não há y nessa função, podemos desconsiderá-lo

lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x

O truque é dizer que esse limite é igual a z , já que na verdade esse limite vai resultar em uma tendencia na imagem z do espaço...

z = lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x

Fazendo l n nos dois lados, temos

ln ⁡ z = ln ⁡ lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + x 1 x

Como ln ⁡ a b = b ln ⁡ a , então

ln ⁡ z = lim x → 0 ⁡ 1 x ln ⁡ 1 + x = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + x x

Aplicando a regra de L ' H o p i t a l ...

ln ⁡ z = lim x → 0 ⁡ d ln ⁡ 1 + x d x d x d x

ln ⁡ z = lim x → 0 ⁡ 1 1 + x 1 = lim x → 0 ⁡ 1 1 + x

E finalmente, substituindo x = 0

ln ⁡ z = lim x → 0 ⁡ 1 1 + x = 1

Elevando os dois lados a e , chegamos em

e ln ⁡ z = e 1

z = e

Assim se z = lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x = e , então

lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x = e

Substituindo no problema, vamos chegar em

lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x 1 + x y x = lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x 1 x 1 + x y = lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x 1 x · lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x y

lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x 1 + x y x = e · 1

lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x 1 + x y x = e

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

lim x , y → 0,2 ⁡ 1 + x 1 + x y x = e

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