Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria

Enunciado

Calcule, caso exista, os limites abaixo (em alguns casos você pode usar o teorema do confronto).

h) lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x 2 sin 2 ⁡ ln ⁡ x + y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função x 2 sin 2 ⁡ ln ⁡ x + y , quando ( x ,   y ) tende ao ponto ( 0 ,   0 ) .

Como a gente tem uma função modular, dentro de um logaritmo, dentro de uma trigonométrica, existem várias pistas pra gente usar o Teorema do Confronto. Isso porque essas funções são limitadas e o teorema nos diz que se temos:

g x ,   y ≤ f x ,   y ≤ h ( x ,   y )

E

l i m x ,   y → 0 ,   0 g x ,   y = l i m x ,   y → 0 ,   0 h x ,   y = L

Então:

l i m x ,   y → 0 ,   0 f x ,   y = L

Isso significa que se o limite das extremidades forem iguais, a função limitada entre elas também vai ter o mesmo limite. Nós vamos tentar fazer isso com a nossa função.

Vamos lá!

Passo 2

Agora vamos analisar o seguinte, a função seno sempre é limitada no intervalo de - 1 a 1 , ou seja:

- 1 ≤ s in ⁡ θ ≤ 1

Isso é válido pra qualquer ângulo, inclusive o nosso argumento ln ⁡ x + y :

- 1 ≤ s in ⁡ ln ⁡ x + y ≤ 1

Multiplicando todo mundo por x , vamos ter:

- x ≤ x sin ⁡ ln ⁡ x + y ≤ x

Elevando ao quadrado:

x 2 ≤ x 2 sin 2 ⁡ ln ⁡ x + y ≤ x 2

E aplicando o limite pra quando ( x ,   y ) → ( 0 ,   0 ) :

l i m x ,   y → 0 ,   0 x 2 ≤ lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x 2 sin 2 ⁡ ln ⁡ x + y ≤ l i m x ,   y → 0 ,   0   ( x 2 )

Temos:

0 ≤ lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x 2 sin 2 ⁡ ln ⁡ x + y ≤ 0

Sendo assim, pelo Teorema do Confronto, nosso limite será:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x 2 sin 2 ⁡ ln ⁡ x + y = 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

0

Exercícios de Livros Relacionados

Usando as propriedades, calcular os limites seguintes:a) lim x → 1 y → 2 ⁡ 2 x y + x 2 - x y
Calcular os seguintes limites de funções compostas:a) lim x → 1 y → 1 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 + 10
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: c) f x ,y = 3 x y x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: d) f x ,y = x 6 + x 2 x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Calcular os limites seguintes:g) underset([[x - 1],[y - 1]])(lim) (x^2 - y x)/(x^2 - y^2)