Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Calcule, caso exista, os limites abaixo (em alguns casos você pode usar o teorema do confronto).

m) lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x - y + 2 x - 2 y x - y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função x - y + 2 x - 2 y x - y , quando ( x ,   y ) tende ao ponto ( 0 ,   0 ) .

Repare que quando substituímos o ponto na nossa função, obtemos uma indeterminação do tipo 0 0 . Então, vamos tentar fugir dessa indeterminação fatorando nossa expressão e simplificando.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos dar uma olhadinha no nosso limite:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x - y + 2 x - 2 y x - y

Vamos começar racionalizando nossa fração, multiplicando em cima e embaixo pelo conjugado x + y :

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x - y + 2 x - 2 y x - y ∙ x + y x + y

Multiplicando os termos no denominador:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x + y x - y + 2 x - 2 y x + x y - x y - y

Simplificando:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x + y x - y + 2 x - 2 y x - y

Agora vamos multiplicar os termos no numerador:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x x - y x + 2 x - 2 x y + x y - y y + 2 x y - 2 y x - y

Simplificando novamente:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x x - y x + 2 x + x y - y y - 2 y x - y

Vamos colocar x e y em evidência:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x x + y + 2 - y ( x + y + 2 ) x - y

Agora também podemos colocar o termo ( x + y + 2 ) em evidência:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ ( x - y ) x + y + 2 x - y

E simplificar de novo:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x + y + 2

Agora que saímos da indeterminação, podemos aplicar o limite:

= 0 + 0 + 2

= 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2

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