Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

UFRJ, Cálculo 2, P2 - 2016.1, Questão E3

Calcule o limite:

lim x , y 0,0 x 2 + y 2 4 - x 2 - y 2 - 2

a - 1 ;

b 4 ;

c - 4 ;

d 1 ;

e 0 .

Passo 1

Vamos tentar substituir os valores de x , y = 0,0 diretamente. Temos:

0 2 + 0 2 4 - 0 2 - 0 2 - 2 = 0 0

Deu uma indeterminação, então devemos buscar uma outra técnica para resolver o problema.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, se a gente olhar bem essa questão, percebemos que já vimos algo parecido lá em Cálculo I. Só que havia apenas uma variável x .

Mas a ideia que a gente utilizava quando aparecia algo desse tipo, raíz no denominador, era multiplicar numerador e denominador pelo conjugado. Vamos fazer o mesmo:

lim x , y 0,0 x 2 + y 2 4 - x 2 - y 2 - 2 4 - x 2 - y 2 + 2 4 - x 2 - y 2 + 2 = lim x , y 0,0 x 2 + y 2 4 - x 2 - y 2 + 2 4 - x 2 - y 2 - 4 = lim x , y 0,0 x 2 + y 2 4 - x 2 - y 2 + 2 - x 2 + y 2

Opa,agora podemos eliminar o termo x 2 + y 2 do denominador. Temos:

lim x , y 0,0 x 2 + y 2 4 - x 2 - y 2 + 2 - x 2 + y 2 = l i m x , y 0,0 - 4 - x 2 - y 2 + 2 = - 4

Resposta

Letra c

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