Exercícios Resolvidos de Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

George B. Thomas, Cálculo – Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2009, p. 305 - 17

Encontre os limites reescrevendo primeiro as frações.

a )   lim x , y 0 ,   0 x y x - y + 2 x - 2 y x - y

b ) lim x , y 2,2 x + y 4 x + y - 4 x + y - 2

Passo 1

a)

Temos a fração

x - y + 2 x - 2 y x - y

Podemos multiplicar em cima e em baixo pelo conjugado do termo no denominador. No caso, seria x + y . Aí a fração fica:

x - y + 2 x - 2 y x - y x + y x + y

Desenvolvendo:

x x + x y - y x - y y + 2 x + 2 x y - 2 y x - 2 y x 2 - y 2

=   x x + x y - y x - y y + 2 x - 2 y x - y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Botando x e y   em evidência no numerador:

x x - y + y x - y + 2 x - 2 y x - y

Opa, ótimo! Dá pra botar x - y em evidência pra cortar com o denominador. Aproveitando que 2 x - 2 y = 2 x - y , temos:

x - y x + y + 2 x - y = x + y + 2

Podemos cortar porque ele diz que x y , ou seja x - y 0 .

Passo 3

Pronto, agora podemos calcular o limite!

lim x , y 0 ,   0 x y x - y + 2 x - 2 y x - y = lim x , y 0 ,   0 x y x + y + 2 = 2

Passo 4

b)

Agora temos a fração

x + y - 4 x + y - 2

O esquema vai ser o mesmo: vamos nos livrar dessa raiz do denominador multiplicando pelo conjugado em cima e em baixo:

x + y - 4 x + y - 2 x + y + 2 x + y + 2

Passo 5

Antes de sair desenvolvendo esse numerador louco, vale a pena dar uma olhada no denominador:

x + y - 2 x + y + 2 = x + y 2 - 2 2 = x + y - 4

Opa, isso é exatamente a mesma coisa que temos em cima!

Ou seja, nossa fração ficou:

x + y - 4 x + y + 2 x + y - 4 = x + y + 2

Muito mais simples né?

Obs: podemos cortar o x + y - 4 porque o enunciado diz que x + y 4 , o que é equivalente a x + y - 4 0 .

Passo 6

Calculando o limite:

lim x , y 2,2 x + y 4 x + y - 4 x + y - 2 = lim x , y 2,2 x + y + 2

O que dá:

2 + 2 + 2 = 2 + 2 = 4

Resposta

a) 2

b) 4

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