Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

Se M   =   s p a n { ( 6 ,   1 ,   − 2 ) }   e   N   =   s p a n { ( 4 ,   1 ,   − 1 ) } , conjunto M   +   N pode ser descrito como:

(A)   M   +   N   = { ( x ,   y ,   z )   ∈   R 3   :   x   +   y   +   2   z   =   3 }

(B)   M   +   N   = { ( x ,   y ,   z )   ∈   R 3   :   x   -   y   +   3   z   =   0 }

(C)   M   +   N   = { ( x ,   y ,   z )   ∈   R 3   :   x   -   2 y   +   2   z   =   0 }

(D)   M   +   N   = { ( x ,   y ,   z )   ∈   R 3   :   x   -   4 y   +   z   =   0 }

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin.Nosso objetivo é descobrir como

podemos descrever o conjunto M   +   N . Onde

M   =   s p a n { ( 6 ,   1 ,   − 2 ) }   e   N   =   s p a n { ( 4 ,   1 ,   − 1 ) }

Bem o que seria M   +   N ? Bem esse conjunto é a soma direta, e é definido como:

M   +   N   =   { w :   w = a m + b n ,   m ∈ M   e   n ∈ N }  

E como M , N tem só o vetor nulo em sua interseção (os vetores ( 6 ,   1 ,   − 2 )   e   ( 4 ,   1 ,   − 1 ) são LI ), então

M   +   N   =   { w :   w = a m + b n ,   m ∈ M   e   n ∈ N }  

Será o espaço gerado pelos vetores

s p a n { ( 6 ,   1 ,   − 2 )   ,   ( 4 ,   1 ,   − 1 ) }

Como temos 2 vetores isso gera um plano. Logo, nosso problema de identificar uma representação para M + N virou o problema de identificar o plano gerado por

s p a n { ( 6 ,   1 ,   − 2 )   ,   ( 4 ,   1 ,   − 1 ) }

Passo 2

Agora, como podemos identificar os pontos de um plano? Para isso, usamos o vetor normal ao plano. Pois se um vetor qualquer pertence ao plano,então ele também será perpendicular ao vetor normal ao plano. Isso quer dizer que se H for o vetor normal ao plano e se v pertence ao plano, então

< H , v > = 0

No nosso caso, qual é o vetor normal ao plano s p a n { ( 6 ,   1 ,   − 2 )   ,   ( 4 ,   1 ,   − 1 ) } ?

Ora, é o vetor que perpendicular simultaneamente a ( 6 ,   1 ,   − 2 )   ,   ( 4 ,   1 ,   − 1 ) , e podemos encontrar este vetor utilizando o produto vetorial entre ( 6 ,   1 ,   − 2 )   ,   ( 4 ,   1 ,   − 1 ) .

Que é dado pelo determinante de

Que é:

i ( 1 )   -   j ( 2 ) + k ( 2 )

= ( 1 , - 2,2 )

Logo,

H =   = ( 1 , - 2,2 )

Passo 3

Como nosso vetor normal é dado por

H =   = ( 1 , - 2,2 )

Se v = ( x , y , z ) ∈ N + M então

< H , v > = 0

⇒ < ( 1 , - 2,2 ) , ( x , y , z ) > = 0

⇔ x - 2 y + 2 z = 0

Que é a equação do nosso plano.

Dessa forma, a alternativa correta é a letra c )

Se liguem, a equação só é essa pois o vetor nulo está contido em s p a n { ( 6 ,   1 ,   − 2 )   ,   ( 4 ,   1 ,   − 1 ) }

Se o nosso plano fosse qualquer outro plano paralelo a esse, o vetor normal seria o mesmo, mas precisaríamos fazer uma correção na equação do plano. Para esse caso onde o plano é deslocado, temos que a equação é dada por:

x 0 + y 0 + z 0 + < H , v > = 0

Onde ( x 0 , y 0 , z 0 ) é um vetor pertencente ao plano.

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

c )

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