Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

Considere em E 3 um tetraedro O A B C e a base B   =   { O A , O B , O C }   d e   V 3 . Sejam M o ponto médio do segmento A B , N o ponto médio do segmento B C e P o ponto do segmento O N tal que d ( P ,   N )   =   1 2 d ( O ,   P ) . Em que d ( X ,   Y   ) denota a distância entre os pontos X   e   Y . Temos que a soma das coordenadas do vetor M P na base B é igual a:

  1. 2 3 + 1
  2. 4 3 + 1
  3. 6 3 + 1 / 4
  4. 8 3 + 1 / 2
  5. 2 3 + 1 / 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é calcular soma das coordenadas do vetor M P

Mas o enunciado nos dá as seguintes informações

M o ponto médio do segmento A B , N o ponto médio do segmento B C e P o ponto do segmento O N tal que d ( P ,   N )   =   1 2 d ( O ,   P )

E aí? alguma ideia de como começar?

Passo 2

Vamos começar essa questão reescrevendo o vetor M P como:

M P = M A   + A O   + O P .

Ou seja, de M vou para A, depois para O e depois para P.

Vamos reescrever M A na base B   =   { O A , O B , O C }

Bem, temos que M é o ponto médio do segmento A B , logo

M A = 1 2 B A

= 1 2 ( A O + O B )

= 1 2 ( - O A + O B )

Passo 3

Agora, vamos escrever O P na base B   =   { O A , O B , O C }

Como d ( P ,   N )   =   1 2 d ( O ,   P ) e N o ponto médio do segmento B C , Logo

2 3 O N   =   O P

E por fim, temos que

O N   = O C   + 1 / 2 ( C O   + O B )   = O C   − 1 / 2   O C   + 1 / 2 O B   = 1 / 2 O C   + 1 / 2 O B .

Logo

O P   = 1 / 3 O C   + 1 / 3 O B .

Dessa forma,

M P = M A   + A O   + O P .

= - 1 / 2 O A   - 1 / 6 O B   + 1 / 3 O C

Portanto, a soma das coordenadas de M P na base B   =   { O A , O B , O C } , é

- 1 / 2   - 1 / 6 + 1 / 3 = - 1 / 3

Valor presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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