Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

Seja A uma matriz 3 × 2 . Deseja-se construir uma matriz M de forma que o produto C = M A seja uma matriz 3 × 2 satisfazendo:

i . A primeira linha de C é igual à metade da soma de todas as linhas de A ;

i i . A segunda linha de C é igual à metade da diferença entre as duas últimas linhas de A ;

i i i . A terceira linha de C é igual à primeira linha de A ;

Qual a soma de todos os elementos da matriz M ?

a 0

b 1 2

c 3 2

d 5 2

Passo 1

Primeiro vamos ver o tamanho de M . Temos o seguinte:

C 3 × 2 = M m × n ∙ A 3 × 2

Para que o produto seja possível precisamos que n = 3 , e para que C seja 3 × 2 precisamos que m = 3 . Logo, M é uma matriz 3 × 3 !

Passo 2

Normalmente nós faríamos o produto C = M A combinando as colunas de M usando os elementos das colunas de A como coeficientes, mas esse método não serve pra nada aqui!!

Por sorte, também sabemos que o produto M A pode ser entendido como uma combinação das linhas de A usando os elementos das linhas de M como coeficientes! Esse é o tipo de questão que fica muuuuito mais fácil de resolver sabendo isso, como eu comentei na teoria haha. Vamos lá então:

i . A primeira linha de C é igual à metade da soma de todas as linhas de A

Então a primeira linha de M tem que somar metade de todas as linhas de A :

M = 1 2 1 2 1 2 * * * * * *

i i . A segunda linha de C é igual à metade da diferença entre as duas últimas linhas de A

Então a segunda linha de M tem que fazer a diferença das metades das duas últimas linhas de A . Assim?

M = 1 2 1 2 1 2 0 1 2 - 1 2 * * *

i i i . A terceira linha de C é igual à primeira linha de A

Então a terceira linha de M é:

M = 1 2 1 2 1 2 0 1 2 - 1 2 1 0 0

Passo 3

Agora é só somar todos os elementos de M :

1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 - 1 2 + 1 = 5 2

Resposta

Letra ( d )

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