Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

Q16. A soma das duas entradas na primeira coluna da matriz

- 5 - 2 16 7 2016

É igual a:

a) - 2 ⋅ 3 2017 + 1

b) 3 2017 - 2

c) 2 ⋅ 3 2017 + 3

d) 3 2017 + 1

e) - 2 ⋅ 3 2017 + 2

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos calcular a soma das duas entradas na primeira coluna da matriz que está elevada a 2016.

Não vamos elevar essa matriz assim na cara e na coragem multiplicando uma por uma, né?

Vamos diagonalizar ela que aí quando elevar ao expoente vai ser só elevar cada entrada da diagonal principal.

A n = P D n P - 1

Passo 2

Primeiro vamos achar os autovalores da matriz A :

det ⁡ A - λ I = 0

- 5 - λ - 2 16 7 - λ = 0

Temos λ = 3 , λ = - 1

A matriz dos autovalores:

P = - 1 - 1 4 2

E a inversa de P :

P - 1 = 1 1 2 - 2 - 1 2

Então a matriz diagonal será:

D = 3 0 0 - 1

Temos:

A = P D P - 1

A = - 1 - 1 4 2 3 0 0 - 1 1 1 2 - 2 - 1 2

Passo 3

Elevando a 2016:

D 20 16 = 3 2016 0 0 - 1 2016

= 3 2016 0 0 1

Então:

A 20 16 = - 1 - 1 4 2 3 2016 0 0 1 1 1 2 - 2 - 1 2

= - 3 2016 - 1 4 ⋅ 3 2016 2 1 1 2 - 2 - 1 2

= - 3 2016 + 2 - 3 2016 + 1 2 4 ⋅ 3 2016 - 4 2 ⋅ 3 2016 - 1

Então a soma das duas entradas na primeira coluna:

= - 3 2016 + 2 + 4 ⋅ 3 2016 - 4

= 3 ⋅ 3 2016 - 2

= 3 2017 - 2

Letra b

Resposta

Letra b

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