Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

Sejam   T   :   R n   →   R m uma transformação linear e { u 1 ,   .   .   .   ,   u n } uma base do R n

Defina v i   =   T u i para i   =   1 ,   .   .   .   ,   n e as matrizes   U   e   V cujas colunas são, respectivamente, os vetores u i ' s e v i ' s

A matriz que representa T é dada por:

(A)   V - 1 U

(B) V   U - 1

(C) U - 1 V

(D) U V - 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é encontrar a matriz T que representa a transformação entre

  T   :   R n   →   R m

E para isso sabemos que { u 1 ,   .   .   .   ,   u n } é uma base do R n e que v i   =   T u i . Além disso definimos   U   e   V , cujas colunas são, respectivamente, os vetores u i ' s e v i ' s . Como vamos fazer isso? Tem duas formas, uma correta e outra na rataria, hehe. Vamos ver as duas.

Passo 2

Vamos começar pela solução esperta. Para isso, vamos usar o teorema da resposta. Vamos fazer o estudo da dimensão de   U   e   V

Como as colunas de U são os vetores u i ' s , e temos n vetores u i ' s . E como esses vetores são de R n eles têm n entradas. logo, U é uma matriz n x n

E como as colunas de V são os vetores v i ' s , e temos n vetores v i ' s já que v i   =   T u i . E como esses vetores são de R m eles têm m entradas. logo, V é uma matriz m x n

Então ao olharmos as alternativas vemos que as soluções são dadas pelo produto de U e V , mas como elas são matrizes, as dimensões precisam fazer sentido, Logo as únicas multiplicações que fazem sentido são

V U

e

V U - 1

Como só uma delas está presente nas alternativas, podemos marcar a letra b ) sem medo.

Passo 3

Agora, vamos fazer do jeito ortodoxo.

Como u ' s são uma base de R n Eles são uma mudança de base da base canônica. E que matriz de mudança de base representaria essa transformação? Seria a própria matriz U .

Logo, a matriz U - 1 representa a transformação que leva da base dos u i ' s para a base canônica.

E a matriz V é a matriz que leva da base canônica para os vetores v i ' s . logo a transformação T é dada pela composição

V U - 1

Valor presente na alternativa b )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b )

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