Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

Ver Teoria

Enunciado

A matriz que representa a reflexão através da reta 3 x   −   2   y   =   0 em R 2 pode ser obtida pelo seguinte cálculo:

(Dica: será útil saber que o vetor   ( 3 ,   − 2 ) é ortogonal à reta   3   x   −   2   y   =   0 .)

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nós queremos descobrir como calculamos a reflexão de um ponto através da reta 3 x   −   2   y   =   0 . Mas como fazemos isso?

Bem, vamos pensar em como fazemos a reflexão em relação a reta x = 0 . Nesse caso nós só invertemos o valor da coordenada y do ponto. Ou seja

( x , y ) → ( x , - y )

E a matriz que representa essa operação é:

Vamos guardar essa operação.

Passo 2

Bem, queremos a reflexão através da reta 3 x   −   2   y   =   0

Mas só sabemos fazer sob a reta x = 0 . E agora? O que fazemos? Podemos pegar o ponto que queremos refletir em relação a reta 3 x   −   2   y   =   0 , representar ele em uma base esperta. Que base seria essa?

Seria a base formada pelo próprio vetor diretor da reta 3 x   −   2   y e pelo vetor ortogonal a essa reta.

O vetor diretor da reta é ( 2,3 ) é seu vetor ortogonal, informado no enunciado, é ( 3 , - 2 )

Logo a matriz que faz a transformação

( 1,0 ) → ( 3 , - 2 )

( 0,1 ) → ( 2,3 )

Logo a matriz de mudança para essa base esperta é

Logo, como podemos escrever a nossa reflexão? Bem, fazemos a mudança de base da canônica para a base esperta, aplicamos a matriz de projeção que vimos no passo 1 e voltamos para a base canônica por meio da matriz inversa. Compondo essas matrizes obtemos:

Que é igual a

Matriz presente na alternativa b )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b )

Exercícios de Livros Relacionados

36. Usando sua experiência com o exercício 35, projete um teste geral que possa ser aplicado a uma fórmula para aij para determinar se A=[a]ij é simétrica.
Se as entradas da matriz C = c 11 x c 21 x ⋮ c m 1 xc 12 x c 22 x ⋮ c m 2 x⋯ ⋯ ⋮ ⋯c 1 n x c 2 n x ⋮ c m n x São funções deriváveis de x , então definimos d C d x = c 11 ' x c 21 ' x ⋮ c m 1 ' xc 12 '
Se a b c d = m e a matriz de uma rotação em torno da origem, mostre que as colunas de m são vetores unitários ortogonais e o mesmo vale para as linhas.
Seja T:R ² →R ² ² ² a transformação linear que consiste em aplicar uma rotação de ângulo θ e depois trocar o sinal da segunda coordenada. Mostre que T é a reflexão em torno de uma reta r que contém a
Sejam r uma reta que contém a origem, α o ângulo de O X para reS :R ²→R ² ² ² a reflexão em torno de r . Sendo e 1=( 1 ,0 )ee 2=( 0 ,1 ) mostre que o ângulo de e 1 paraS e 1 é 2 α e o ângulo de e 2 pa