Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

Q3: Seja A uma matriz tal que   A ( 3 ,   2 ,   − 3 )   =   ( 1 ,   1 ,   1 ,   3 )   e   A ( − 3 ,   2 ,   − 2 )   =   ( 1 ,   2 ,   2 ,   3 ) . Podemos afirmar que o se guinte vetor é uma solução de A v   =   ( 0 ,   3 ,   3 ,   0 ) .

(A) v   =   ( − 3 ,   10 ,   − 12 )

(B) v   =   ( 18 ,   0 ,   − 3 )

(C) v   =   ( − 18 ,   0 ,   3 )

(D) v   =   ( − 15 ,   − 2 ,   5 )

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Dessa vez uma que usa as propriedades da linearidade de uma matriz/transformação linear. Lembram dessa propriedade? Vamos revisar. Ela diz que se A for uma transformação linear, e v , w vetores , então

A ( a v + b w ) = a A ( v ) + b A ( w )

Então Como queremos uma solução para A v   =   ( 0 ,   3 ,   3 ,   0 )

E o enunciado diz que

  A ( 3 ,   2 ,   − 3 )   =   ( 1 ,   1 ,   1 ,   3 )   e   A ( − 3 ,   2 ,   − 2 )   =   ( 1 ,   2 ,   2 ,   3 )

Talvez possamos utilizar essa propriedade para resolver essa questão.

Passo 2

Bem, queremos uma solução para A v   =   ( 0 ,   3 ,   3 ,   0 ) , e sabemos que

  A ( 3 ,   2 ,   − 3 )   =   ( 1 ,   1 ,   1 ,   3 )   e   A ( − 3 ,   2 ,   − 2 )   =   ( 1 ,   2 ,   2 ,   3 )

Então, vamos tentar escrever o vetor   ( 0 ,   3 ,   3 ,   0 ) , como uma combinação linear dos vetores ( 1 ,   1 ,   1 ,   3 ) e   ( 1 ,   2 ,   2 ,   3 )

Bem, isso quer dizer que queremos a , b ∈ R tais que

a ( 1 ,   1 ,   1 ,   3 ) +   b ( 1 ,   2 ,   2 ,   3 ) = ( 0 ,   3 ,   3 ,   0 )

Bem, isso vai gerar o sistema

a + b = 0

a + 2 b = 3

a + 2 b = 3

a + b = 0

Mas esse sistema é fácil de resolver. da primeira equação, temos que

a = - b

Substituindo isso na segunda equação, temos que

b = 3

Logo

a = - 3

Ou seja, a combinação linear

a ( 1 ,   1 ,   1 ,   3 ) +   b ( 1 ,   2 ,   2 ,   3 ) = ( 0 ,   3 ,   3 ,   0 )

é:

- 3 ( 1 ,   1 ,   1 ,   3 ) +   3 ( 1 ,   2 ,   2 ,   3 ) = ( 0 ,   3 ,   3 ,   0 )

Passo 3

Mas não foi isso que o enunciado queria, ele queria v tal que

A v   =   ( 0 ,   3 ,   3 ,   0 )

E aí, o que fazemos? Podemos utilizar aquela propriedade da linearidade que revisamos no passo 1. Ela diz que

A ( a v + b w ) = a A ( v ) + b A ( w )

Mas como aplicamos? Ora o enunciado diz que

  A ( 3 ,   2 ,   − 3 )   =   ( 1 ,   1 ,   1 ,   3 )   e   A ( − 3 ,   2 ,   − 2 )   =   ( 1 ,   2 ,   2 ,   3 )

E sabemos que

- 3 ( 1 ,   1 ,   1 ,   3 ) +   3 ( 1 ,   2 ,   2 ,   3 ) = ( 0 ,   3 ,   3 ,   0 )

Logo, podemos substituir esses vetores, obtendo a seguinte expressão

- 3   A ( 3 ,   2 ,   − 3 ) +   3   A ( − 3 ,   2 ,   − 2 ) = ( 0 ,   3 ,   3 ,   0 )

Usando a linearidade da transformação linear, essa expressão é equivalente a

- 3   A ( 3 ,   2 ,   − 3 ) +   3   A ( − 3 ,   2 ,   − 2 ) = ( 0 ,   3 ,   3 ,   0 )

A ( - 3 ( 3 ,   2 ,   − 3 ) + 3 ( − 3 ,   2 ,   − 2 ) ) = ( 0 ,   3 ,   3 ,   0 )

Juntando os vetores temos que

A ( - 18,0 , 3 ) = ( 0,3 , 3,0 )

Ou seja, ( - 18,0 , 3 ) é solução de

A v   =   ( 0 ,   3 ,   3 ,   0 )

Esse vetor se encontra na alternativa c )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

c )

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