Enunciado

Supondo que A e B são matrizes e a multiplicação é possível, assinale a alternativa FALSA:

a   Se a primeira e terceira linha de A são iguais então a primeira e terceira linha de A B são iguais.

b   Se A e B são matrizes triangulares inferiores o produto A B é uma matriz triangular inferior.

c   Se a primeira e terceira coluna de B são iguais então a primeira e terceira coluna de A B são iguais.

d   Se a primeira e terceira linha de B são iguais então a primeira e terceira linha de A B são iguais.

Passo 1

Será que essa ( a ) é certa? Vamos analisar:

A B = ← v 1 → ← v 2 → ← v 1 → ⋅ ↑ ↑ ↑ v a v b v c ↓ ↓ ↓ = v a v 1 v b v 1 v c v 1 v a v 2 v b v 2 v c v 2 v a v 1 v b v 1 v c v 1

Esse v a v 1 é o produto escalar entre vetores que você deve estar cansado de ver em física haha. Você faz o produto componente a componente e depois soma. E é exatamente isso que fazemos quando multiplicamos matrizes. Bom, de fato podemos ver que a primeira e terceria linhas de A B são iguais.

Passo 2

A ( b ) é verdade, olhe esse exemplo:

? 0 0 0 ? ? 0 0 ? ? ? 0 ? ? ? ? ∙ # 0 0 0 # # 0 0 # # # 0 # # # # = c 11 c 12 c 13 c 14 c 21 c 22 c 23 c 24 c 31 c 32 c 33 c 34 c 41 c 42 c 43 c 44

Se você reparar, qualquer elemento acima da diagonal principal de A B vai dar zero na hora de multiplicar. Vou escolher o c 23 , por exemplo:

c 23 = 2 ª   linha de   A ⋅ 3 ª   coluna de   B

c 23 = ? ,   ? ,   0 ,   0 ⋅ 0 ,   0 ,   # ,   # = ? × 0 + ? × 0 + 0 × # + 0 × # = 0

O c 34 também:

c 34 = 3 ª   linha de   A ⋅ 4 ª   coluna de   B

c 34 = ? ,   ? ,   ? ,   0 ⋅ 0 ,   0 ,   0 ,   # = ? × 0 + ? × 0 + ? × 0 + 0 × # = 0

Então, como todo elemento acima da diagonal principal é zero, a matriz A B também é triangular inferior.

Passo 3

A lógica da ( c ) é parecida com a da ( a ) .

A B = ← v 1 → ← v 2 → ← v 3 → ⋅ ↑ ↑ ↑ v a v b v a ↓ ↓ ↓ = v a v 1 v b v 1 v a v 1 v a v 2 v b v 2 v a v 2 v a v 3 v b v 3 v a v 3

Como podemos ver, a 1ª e a 3ª coluna de A B são iguais.

Passo 4

Por que essa ( d ) não é verdadeira?

Bom, pra multiplicação das matrizes as linhas de B não nos importam muito né? Fazemos multiplicação assim:

A B = ← v 1 → ← v 2 → ← v 3 → ⋅ ↑ ↑ ↑ v a v b v c ↓ ↓ ↓ = v a v 1 v b v 1 v c v 1 v a v 2 v b v 2 v c v 2 v a v 3 v b v 3 v c v 3

Para achar o c 11 por exemplo vamos usar a primeira linha de A com a primeira coluna de B .

Entendeu? Então essa é falsa!

Resposta

Letra ( d ) .

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