Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contraexemplo para as falsas.

b) Se A e B são matrizes equivalentes, então elas têm o mesmo posto.

Passo 1

E aíí gente, vamos lá pra mais uma??

Nesse exercício queremos verificar se é verdade ou mentira que duas matrizes semelhantes possuem o mesmo posto, ou seja, que possuem o mesmo número de linhas nulas após escalonarmos

Só pra te lembrar: duas matrizes A e B são semelhantes se existir M invertível tal que

A = M - 1 . B . M

Para verificarmos nossa afirmação, vamos ver se o determinante de A tem alguma relação com o determinante de B . Se eles forem iguais, as matrizes possuem o mesmo posto ok?

Então vamos lá

Passo 2

Primeiramente, se A e B são semelhantes, então existe M tal que

A = M - 1 . B . M

Vamos calcular o determinante da matriz A :

A = | M - 1 . B . M |

O determinante do produto é igual o produto dos determinantes:

A = M - 1 . B . | M |

A = B . M - 1 . | M |

A = B . M - 1 . M

O produto de uma matriz com a sua inversa vai dar a matriz identidade:

A = B . | I |

E o determinante da matriz identidade vale 1:

A = B . 1

A = | B |

Oba! Então A e B possuem o mesmo determinante

Duas matrizes com o mesmo determinante vão possuir o mesmo número de linhas nulas, e portanto, o mesmo posto ;D a afirmação é verdadeiraaaa

Resposta

Verdadeira

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