Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

Q16. Recorde que o traço de uma matriz quadrada é definido como sendo a soma das entradas na sua diagonal principal. Se A denota a matriz dada por

A = - 1 0 0 0 - 1 - 1 0 1 - 1

Então o traço de A 200 é igual a:

a) 1 + 2 + 1 102 ;

b) 1 + 2 + 1 101 ;

c) 1 + 2 101 ;

d) 1 + 2 102 ;

e) 1 + 2 101

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos calcular o traço da matriz A elevada a 200.

Não vamos elevar essa matriz assim na cara e na coragem multiplicando uma por uma, né?

Vamos diagonalizar ela que aí quando elevar ao expoente vai ser só elevar cada entrada da diagonal principal.

A n = P D n P - 1

Passo 2

Primeiro vamos achar os autovalores da matriz A :

det ⁡ A - λ I = 0

- 1 - λ 0 0 0 - 1 - λ - 1 0 1 - 1 - λ = 0

Temos λ = - 1 , λ = - 1 ± i .

A matriz dos autovalores:

P = 1 0 0 0 i - i 0 1 1

E a inversa de P :

P - 1 = 1 0 0 0 - i 2 1 2 0 i 2 1 2

Então a matriz diagonal será:

D = - 1 0 0 0 - 1 + i 0 0 0 - 1 - i

Temos:

A = P D P - 1

A = 1 0 0 0 i - i 0 1 1 - 1 0 0 0 - 1 + i 0 0 0 - 1 - i 1 0 0 0 - i 2 1 2 0 i 2 1 2

Passo 3

Elevando a 200:

D 200 = - 1 200 0 0 0 - 1 + i 200 0 0 0 - 1 - i 200

= 1 0 0 0 - 1 + i 200 0 0 0 - 1 - i 200

Então:

A 200 = 1 0 0 0 i - i 0 1 1 1 0 0 0 - 1 + i 200 0 0 0 - 1 - i 200 1 0 0 0 - i 2 1 2 0 i 2 1 2

= 1 0 0 0 i - 1 + i 200 - i - 1 - i 200 0 - 1 + i 200 - 1 - i 200 1 0 0 0 - i 2 1 2 0 i 2 1 2

= 1 0 0 0 - 1 + i 200 + - 1 - i 200 2 i - 1 + i 200 - i - 1 - i 200 2 0 - i - 1 + i 200 + i - 1 - i 200 2 - 1 + i 200 + - 1 - i 200 2

Então o traço da matriz será

= 1 + - 1 + i 200 + - 1 - i 200 2 + - 1 + i 200 + - 1 - i 200 2

= 1 + - 1 + i 200 + - 1 - i 200

Repara que - 1 + i 2 = - 2 i e que - 1 - i 2 = 2 i .   Então:

= 1 + - 2 i 100 + 2 i 100

Repara também que - 2 i 2 = - 4 e que 2 i 2 = - 4 . Então:

= 1 + - 4 50 + - 4 50

Como estamos elevando a um expoente par, o sinal de menos some...

= 1 + 4 50 + 4 50

= 1 + 2 100 + 2 100

= 1 + 2 ⋅ 2 100

= 1 + 2 101

Letra C

Resposta

Letra C

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