Exercícios Resolvidos de Operações com Matrizes

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Enunciado

Seja   a   ∈   R e considere a matriz:

Temos que A é diagonalizável se, e somente se:

(a) a   =   2

(b) a   =   1

(c) a   =   0

(d) a   ≠   2

(e) a   ≠   - 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é boa, pois vamos trabalhar com as condições de diagonalização.

Vamos começar dando uma revisada no conteúdo. Uma matriz T é diagonalizável se os autoespaços associados aos seus autovalores tem dimensão igual à multiplicidade algébrica do autovalor. Por exemplo, se T é uma matriz com dois autovalores iguais. Então devem existir dois autovetores LI associados a esse autovalor para que T possa ser diagonalizável. Blz?

Com isso em mente, nosso objetivo é verificar a condição necessária para que

seja diagonalizável

Passo 2

Vamos começar calculando os autovalores de

Para isso, precisamos do polinômio característico gerado por

p ( t ) = d e t ( A - t I )

calculando esse determinante 3 x 3 obtemos (como a matriz é triangular o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal):

p ( t ) =   ( 1 - t ) ( 2 - t ) ( 1 - t )

E suas raízes são

2

1 com multiplicidade algébrica 2

Passo 3

Como vimos no passo 1 , quando temos um autovalor com multiplicidade algébrica k precisamos que o auto espaço associado tenha dimensão k .

No nosso caso o autovalor 1 tem multiplicidade 2 .

Vamos calcular o auto espaço associado. Para isso precisamos resolver

A v = v

⇒ ( A - I ) v = 0

onde

Logo os v estão no núcleo de ( A - I ) . Vamos calcular esse núcleo. Montando a matriz aumentada, temos:

Então, qual deve ser o valor de a para que a matriz aumentada tenha duas variáveis livres?

Ora, para temos duas variáveis livres, precisamos que

1 - a / 2 = 0

pois assim podemos escolher qualquer valor para x 3 e x 1 . Então

1 - a / 2 = 0

⇒ a = 2

Logo, a alternativa correta é a a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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